[論文レビュー] On the structure of prime-detecting quasimodular forms in higher levels

Yeong-Wook Kwon, Y. P. Lee|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2026

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 0

ひとこと要約

論文は Γ0(N) 上の任意の素数検出準モジュラー形式が準モジュラーEisenstein級と準モジュラー旧形の和に含まれることを ℓ-Adic ガロア表現と表現の独立性を用いて示し、素数検出でない形に対する零化素数の境界を与える。

ABSTRACT

Craig, van Ittersum, and Ono conjectured that every prime-detecting quasimodular form of level $1$ is a quasimodular Eisenstein series. This conjecture was proved by Kane--Krishnamoorthy--Lau and by van Ittersum--Mauth--Ono--Singh independently. However, in higher levels, prime-detecting quasimodular forms need not be Eisenstein. Recently, Kane, Krishnamoorthy, and Lau formulated a natural higher level analogue of the above conjecture and proved it by analytic methods. In a similar direction, but via an alternative approach based on the independence of characters of $\ell$-adic Galois representations, we prove that any prime-detecting quasimodular form on $Γ_{0}(N)$ belongs to the direct sum of the spaces of quasimodular Eisenstein series and quasimodular oldforms. Moreover, for a quasimodular form $f$ that is not prime-detecting, we give an upper bound for the number of primes $p$ less than $X$ for which the $p$-th Fourier coefficient of a quasimodular form vanishes.

研究の動機と目的

• レベル1 を超える素数検出準モジュラー形式の研究を動機づけ、それらの構造的分解を理解する。
• Γ0(N) 上の素数検出準モジュラー形式が Eisenstein ＋ oldforms 空間に必ず含まれるかを調べる。
• 素数での Fourier係数の零化の結果を Galois 表現と関連づける。

提案手法

• Γ0(N) 上の準モジュラー形式の空間を Eisenstein, 新しい cusp, 旧 cusp 成分に分解する。
• モジュラー形式に付随する ℓ-アディックガロア表現と表現の独立性を用いて新 cusp 部分を制約する。
• θ-表現の独立性を適用して素数検出形が自明な新 cusp 成分を持つことを否定する。
• 素数の零化パターンが非素数検出形の係数の非零密度を示すことを示す。
• ΩN = ΩN ∩ (Ẽ(N) ⊕ S̃old(N)) を確立する。
• 追加仮定の下で零素数集合の上界を導く推論を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Γ0(N) 上のすべての素数検出準モジュラー形式が準モジュラー Eisenstein および oldforms 空間の和に含まれるか？
• RQ2 ℓ-アディックガロア表現と表現の独立性が素数検出準モジュラー形式の cusp 部分の制約に果たす役割は？
• RQ3 素数 p に対して a_f(p) = 0 を満たす準モジュラー形式が素数検出でない場合、素数の分布について何が言えるか？

主な発見

• Γ0(N) 上の素数検出準モジュラー形式の空間は準モジュラー Eisenstein 系と準モジュラー oldforms の直和に含まれる。
• Corollary 1.2 は Conjecture 1.1 が成り立つことを述べる：ΩN = ΩN ∩ (Ẽ(N) ⊕ S̃old(N))。
• Theorem 1.3 は mild 仮説の下で a_f(p) ≠ 0 となる素数に対して正密度の下界を提供し、かつ f が Eisenstein の和と非 CM Hecke固有形の和であり、ある共役性条件を満たさない場合には零集合の上界を与える。
• Lemmas は oldforms が p ∤ N のとき p-th Fourier係数を零にすること、特定の Eisenstein 型成分も同様に零化挙動を示すことを示す。
• 証明は準モジュラー形式の分解とガロア表現の表現の独立性、および GL2 の強い多重性1性を組み合わせている。