[論文レビュー] On the structure of the energy-momentum and the spin currents in Dirac's electron theory

Friedrich W. Hehl, Alfredo Macı́as+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 1997

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、平坦なミンコフスキー時空におけるディラックの電子理論において、保存エネルギー運動量およびスピン現在のゴードン分解を実行し、それぞれを対流成分と極化成分に分離する。極化成分は、移動およびローレンツ群に関連する2形式による重力モーメントの外微分から生じており、非相対論的極限においては電子のスピンコベクトルに比例する。

ABSTRACT

We consider a classical Dirac field in flat Minkowski spacetime. We perform a Gordon decomposition of its canonical energy-momentum and spin currents, respectively. Thereby we find for each of these currents a convective and a polarization piece. The polarization pieces can be expressed as exterior covariant derivatives of the two-forms $\\check M_\\alpha$ and $M_{\\alpha\\beta}=-M_{\\beta\\alpha}$, respectively. In analogy to the magnetic moment in electrodynamics, we identify these two-forms as gravitational moments connected with the translation group and the Lorentz group, respectively. We point out the relation between the Gordon decomposition of the energy-momentum current and its Belinfante-Rosenfeld symmetrization. In the non-relativistic limit, the translational gravitational moment of the Dirac field is found to be proportional to the spin covector of the electron.

研究の動機と目的

• ディラック場の保存エネルギー運動量およびスピン現在を物理的成分に分解すること。
• 微分幾何的構造を用いて、これらの現在における極化寄与の起源を特定すること。
• 極化項を移動およびローレンツ群に関連する重力モーメントとして解釈すること。
• ゴードン分解とベルンフィンテ＝ローゼンフェルトのエネルギー運動量テンソルの対称化手続きとの関係を明確にすること。
• 非相対論的極限を検討し、電子のスピンコベクトルとの関係を明らかにすること。

提案手法

• ミンコフスキー時空におけるディラック場の保存エネルギー運動量現在にゴードン分解を適用する。
• ディラック場のスピン現在テンソルに対しても同様の分解を実行する。
• 両現在の極化部分を、反対称2形式 $\check{M}_\alpha$ および $M_{\alpha\beta}$ の外共変微分として表現する。
• $\check{M}_\alpha$ を移動群に関連する重力モーメントとして特定し、$M_{\alpha\beta}$ をローレンツ群に関連するものとする。
• 現在の成分の構造を通じて、分解をベルンフィンテ＝ローゼンフェルトの対称化手続きと関連付ける。
• 非相対論的極限をとり、移動に関する重力モーメントの振る舞いを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラック場の保存エネルギー運動量現在は、どのように物理的に意味のある成分に分解できるか？
• RQ2 エネルギー運動量現在の極化部分の幾何学的および物理的解釈は何か？
• RQ3 2形式 $\check{M}_\alpha$ および $M_{\alpha\beta}$ は、移動およびローレンツ群の文脈において、どのように重力モーメントに関連するか？
• RQ4 ゴードン分解とエネルギー運動量テンソルのベルンフィンテ＝ローゼンフェルトの対称化手続きとの関係は何か？
• RQ5 非相対論的極限において、移動に関する重力モーメントはどのように振る舞い、電子のスピンとはどのような関係にあるか？

主な発見

• ディラック場のエネルギー運動量現在は、対流成分と極化成分に分解され、後者は2形式 $\check{M}_\alpha$ の外共変微分として表現可能である。
• スピン現在も対流成分と極化成分に分解され、極化項は反対称2形式 $M_{\alpha\beta}$ の外微分から生じる。
• 2形式 $\check{M}_\alpha$ は、移動群に関連する重力モーメントとして特定され、電磁気学における磁気モーメントに類似している。
• 2形式 $M_{\alpha\beta}$ は、ローレンツ群に関連する重力モーメントを表し、局所的回転対称性を反映している。
• 両現在の極化部分は、対流寄与とは幾何学的にも物理的にも明確に異なることが示された。
• 非相対論的極限において、移動に関する重力モーメント $\check{M}_\alpha$ が電子のスピンコベクトルに比例することが判明し、スピンと重力モーメントの直接的な関係が確立された。