[論文レビュー] On the structure of the exact master equation

Inés de Vega|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2014

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、オープン量子系の系ハミルトニアンが任意（非調和項を含む）である場合に、確率的リウヴィル＝フォンノイマン（SLN）方程式におけるノイズ軌道の解析的平均化により、正確で摂動論的でないマスター方程式を導出する。得られたマスター方程式は階層的構造を示し、連続する項の相対的重みに基づいてマスター方程式のアプローチの妥当性を評価する基準を提供する。これにより、SLNシミュレーションにおける収束問題の診断が非近似的枠組みで可能になる。

ABSTRACT

We derive a master equation from the exact stochastic Liouville von-Neumann (SLN) equation \cite{stockburger2002,wallsbook}. The latter depends on two correlated noises and describes exactly the dynamics of an oscillator (which can be either harmonic or present an anharmonicity) coupled to an environment at thermal equilibrium. The newly derived master equation is obtained by performing analytically the average over different noise trajectories. It is found to have a complex hierarchical structure that might be helpful to explain the convergence problems occurring when performing numerically the stochastic average of trajectories given by the SLN equation \cite{koch2008,koch2010}.

研究の動機と目的

• 任意の系ハミルトニアン（非調和項を含む）を持つオープン量子系に対して、近似を用いずに正確なマスター方程式を導出すること。
• 特に長時間およびスーパー・オーミック環境下で顕著な収束問題を有する確率的リウヴィル＝フォンノイマン（SLN）シミュレーションの問題を解決すること。
• 階層的項の相対的重みに基づいて、特定の系に対してマスター方程式のアプローチが妥当かどうかを判断する基準を提供すること。
• 射影作用素の技法や弱結合仮定に依存しない非近似的枠組みを、縮約ダイナミクスの記述に確立すること。

提案手法

• スピン系が熱的バスタに結合する系を記述する正確なSLN方程式におけるノイズ変数に関する軌道の解析的平均化によりマスター方程式を導出する。
• 項が複数の時間積分を含む複雑さの増加に従って整列された階層的展開を用いる。
• ノイズ変数に関する時間微分と関数的微分の間の整合性条件を適用し、導出の数学的妥当性を保証する。
• 階層の連続する項の相対的重みに基づく基準を導入し、数値的利用のための項の切り捨ての妥当性を評価する。
• 一般初期状態および非エルミート結合演算子を含めるために、確率的シュレーディンガー方程式（SSE）フレームワークを用いて形式を拡張する。
• 導出された階層が既存の確率的階層法と関連づけられ、指数関数的相関関数やフェルミオン系環境への応用可能性が示唆される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非調和ハミルトニアンを持つオープン量子系に対して、近似を用いずに正確なマスター方程式を導出可能か？
• RQ2 なぜ確率的リウヴィル＝フォンノイマン（SLN）シミュレーションは、特に長時間およびスーパー・オーミック環境下で収束しなくなることが多いのか？
• RQ3 与えられたオープン量子系に対して、マスター方程式のアプローチが妥当かどうかを体系的に判断する方法はあるか？
• RQ4 導出されたマスター方程式の階層的構造は、項の切り捨てを非近似的精度を保ちながら行うにあたり、どのように活用できるか？
• RQ5 この形式は、非エルミート結合演算子や一般初期状態の環境を含めるように一般化可能か？

主な発見

• 導出されたマスター方程式は正確かつ摂動論的でなく、任意の系ハミルトニアン（非調和項を含む）に適用可能である。
• マスター方程式は、複数の時間積分を含む複雑さが増す項の無限階層の形をとる。
• 階層の連続する項の相対的重みが、項の切り捨ての妥当性を決定づける：高次の項が増大する場合、マスター方程式のアプローチは不適切である。
• 高次の項の重みが減少する場合、誤差が明確に定義された形で切り捨て可能であり、縮約ダイナミクスの非近似的記述が得られる。
• 本手法はSLNシミュレーションの診断ツールを提供し、正確なダイナミクスの階層的構造に基づいて収束不能の原因を説明可能である。
• 形式は一般初期状態および非エルミート結合演算子を含む確率的シュレーディンガー方程式に拡張可能であり、応用範囲が広がる。