[論文レビュー] On the Structure of the Weil Restriction of Abelian Varieties

Claus Diem, Niko Naumann|ArXiv.org|Apr 18, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限ガロア拡張上のアーベル多様体のウェイル制限の自己準同型環と同種分解を完全に記述している。$ K|k $ を次数 $ n $ の巡回拡張とするとき、アーベル多様体 $ A_K $ のウェイル制限 $ W $ は、$ n $ の約数 $ d $ に応じた等型成分 $ W_d $ に分解され、$ W_d $ が単純であるための必要十分条件は $ \mathbb{Q} \cap \operatorname{End}^\circ(A)\otimes\mathbb{Q}(\zeta_d) = \mathbb{Q} $ であることが示され、これは複素乗法を持つ楕円曲線の性質を高次元のアーベル多様体へ一般化したものである。

ABSTRACT

We give a description of endomorphism rings of Weil restrictions of abelian varieties with respect to finite Galois extensions. The results are applied to study the isogeny decomposition of Weil restrictions.

研究の動機と目的

• 有限ガロア拡張に関するアーベル多様体のウェイル制限の自己準同型環の構造を特定すること。
• 特に有限体および巡回拡張の場合に、ウェイル制限の同種分解を研究すること。
• ウェイル制限が単純であるか、単純因子に分解されるかどうかの明示的基準を提供すること。
• 既知の複素乗法を持つ楕円曲線に関する結果を、高次元のアーベル多様体へ一般化すること。

提案手法

• 自己準同型環 $ \operatorname{End}(A_K) $ とガロア群 $ G^{\text{opp}} $ を用いたクロス積として、ウェイル制限 $ W $ の自己準同型環をスケュー群環として記述する。
• 巡回多項式 $ \Phi_d $ を用いた $ \operatorname{End}^\circ(A) $ 上の表現論とイデムポテン要素の分解を応用する。
• $ \Phi_d $ が $ \operatorname{End}^\circ(A) $ 上に持つ既約因子 $ \Phi_d^{(i)} $ を用いて、射影作用素 $ \Psi_d^{(i)} \Phi_d^{(i)'} $ を通じて部分多様体 $ W_d^{(i)} $ を構成する。
• 自己同型 $ \sigma_{K|k}: \sigma^{-1}(A_K) \to A_K $ を用いて、フロベニウス作用およびガロア作用をウェイル制限に定義する。
• すべての $ A_K $ の自己準同型が $ k $ 上に定義されているという仮定のもとで、$ \operatorname{End}^\circ(W) \simeq \operatorname{End}^\circ(A_K)[G] $ であるという事実を活用する。
• 単純性の判定のため、巡回多項式および数体の交わりに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限ガロア拡張上でのアーベル多様体のウェイル制限が、基本体上で単純となる条件は何か？
• RQ2 ウェイル制限の自己準同型環は、ガロア群および元の多様体の自己準同型環とどのように関係するか？
• RQ3 基本拡張が巡回である場合、ウェイル制限の同種分解はどのようになるか？
• RQ4 ウェイル制限の成分 $ W_d $ が単純のままである条件は何か、また非同種な単純因子に分解される条件は何か？
• RQ5 楕円曲線に複素乗法がある場合、そのウェイル制限が巡回拡張上でどのように同種分解されるか？

主な発見

• すべての $ A_K $ の自己準同型が $ k $ 上に定義されているという仮定のもと、$ K|k $ 上のアーベル多様体 $ A_K $ のウェイル制限 $ W $ の自己準同型代数は、ガロア群 $ G^{\text{opp}} $ を用いた $ \operatorname{End}^\circ(A_K) $ 上のスケュー群環 $ \operatorname{End}^\circ(A_K)[G] $ に同型である。
• 巡回拡張 $ K|k $ を次数 $ n $ とするとき、ウェイル制限 $ W $ は $ n $ の約数 $ d \mid n $ で添字付けられた同種成分 $ W_d $ に分解され、$ (W_d)_K \approx A_K^{\varphi(d)} $ が成り立つ。
• 各成分 $ W_d $ が単純であるための必要十分条件は、$ \operatorname{End}^\circ(A) \cap \mathbb{Q}(\zeta_d) = \mathbb{Q} $ である。すなわち、自己準同型体と $ d $ 次円分体の交わりが自明であること。
• $ k $ 上に複素乗法を持つ通常の楕円曲線 $ A $ に対して、$ W_d $ が単純でないのは $ \operatorname{End}^\circ(A) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_d) $ であるときであり、このとき $ W_d $ は次元 $ \varphi(d)/2 $ の非同種な単純因子に分解される。
• 特に、$ n $ が素数で、$ n \equiv 1 \pmod{4} $ または $ n \equiv 3 \pmod{4} $ かつ $ \sqrt{-n} \notin \operatorname{End}^\circ(E) $ であるとき、$ W \sim E \times N $ が成り立ち、$ N $ は単純である。
• 等型成分 $ W_d^{(i)} $ はイデムポテン作用素 $ E_d^{(i)} = \Psi_d^{(i)} \Phi_d^{(i)'} $ の像として構成され、自己準同型代数が $ \operatorname{End}^\circ(A)[X]/\Phi_d^{(i)} $ に同型である単純な $ k $-多様体である。