[論文レビュー] On the structure of weak Hopf algebras

Dmitri Nikshych|ArXiv.org|Jun 1, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、古典的ホップ代数の結果に対する弱ホップ代数の類似を確立し、有限次元のフロベニウス弱ホップ代数の反対作用素が自明な自己同型を modulo して有限位数をもつことを証明するとともに、反対作用素の平方のトレース公式を導出し、半単純性および余半単純性の十分条件を提示する。さらに、半単純ホップ代数の動的ねじれによって得られる弱ホップ代数が余半単純であることを示す。

ABSTRACT

We study the group of group-like elements of a weak Hopf algebra and derive an analogue of Radford's formula for the fourth power of the antipode S, which implies that the antipode has a finite order modulo a trivial automorphism. We find a sufficient condition in terms of Tr(S^2) for a weak Hopf algebra to be semisimple, discuss relation between semisimplicity and cosemisimplicity, and apply our results to show that a dynamical twisting deformation of a semisimple Hopf algebra is cosemisimple.

研究の動機と目的

• 反対作用素の4乗に関するラドフォードの公式の弱ホップ代数への類似を確立する。
• 反対作用素の平方のトレースを用いた半単純性および余半単純性の条件を導出する。
• 半単純ホップ代数の動的ねじれによって得られる弱ホップ代数が余半単純であることを証明する。
• 最小の弱ホップ代数を分類し、群的元の群を定義し、自明な群的元による商を定義する。
• 弱ホップ代数において、基底が一致する場合に半単純性と余半単純性が同値である条件を示す。

提案手法

• 最小の弱ホップ代数部分代数における群的元の群 G(H) 及び自明な群的元の正規部分群 G₀(H) を導入・分析する。
• 双対代数における左積分と右積分の差を測るための群的元の代表的コセットを定義する。
• ラドフォードの公式を弱ホップ代数へ拡張し、S⁴ が自明な自己同型を modulo して恒等写像に共役であることを証明する。
• Larson-Radford のトレース公式を用いて Tr(S²) を用い、半単純性および余半単純性の十分条件を導出する。
• 半単純ホップ代数 U における動的ねじれ J から、(Θ, Θ̄) というねじりを構成し、ねじられた弱ホップ代数 HΘ を定義する。
• ねじりパrameter を用いて反対作用素 SΘ 及びトレース Tr(S²Θ) を計算し、Tr(S²Θ) = dim(HΘ) ≠ 0 であることを示し、HΘ が余半単純であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元の弱ホップ代数の反対作用素は、通常のホップ代数におけるラドフォードの結果に類似して、自明な自己同型を modulo して有限位数をもつか？
• RQ2 弱ホップ代数において、反対作用素の平方のトレース Tr(S²) を用いて半単純性および余半単純性を特定できるか？
• RQ3 半単純ホップ代数の動的ねじれによって得られる弱ホップ代数は、必然的に余半単純か？
• RQ4 弱ホップ代数における群的元の群の構造は何か？ また、自明な元による商は、古典的な群的元の群とどのように関係するか？
• RQ5 弱ホップ代数において、半単純性と余半単純性が同値となる条件は何か？

主な発見

• 有限次元のフロベニウス弱ホップ代数において、反対作用素 S⁴ は自明な自己同型を modulo して恒等写像に共役である。これはラドフォードの結果の一般化である。
• 弱ホップ代数が半単純かつ余半単純であるための十分条件として、Tr(S²) ≠ 0 が成り立つ。
• 弱ホップ代数の左および右の基底が一致する場合、半単純性と余半単純性は同値である。
• 半単純ホップ代数の動的ねじれによって得られる弱ホップ代数の双対は半単純であるため、ねじられた代数は余半単純である。
• 半単純ホップ代数 U における動的ねじれ J に対して、ねじられた弱ホップ代数 HΘ は Tr(S²Θ) = dim(HΘ) ≠ 0 を満たす。これは HΘ が余半単純であることを示唆する。
• 最小の弱ホップ代数におけるすべての原始的イデムポテンの p に対して、Tr(S²|pHp) は正の値をとり、積分の非退化性および半単純性を支持する。