[論文レビュー] On the study of stochastic fractional-order differential equation systems

Guang‐an Zou, Bo Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非リプシッツ連続非線形項とピカード反復を用いて、キャプート型分数階微分方程式系の解の存在および一意性を確立する。主な貢献は、修正されたアダムス予言・補正スキームを用いた確率的分数階ニュートン＝ライプニッツおよびローレンツ系の数値シミュレーションを通じて検証された理論的枠組みであり、分数階数が変化する条件下でカオス的挙動および確率的アトラクタを示している。

ABSTRACT

In this article, the existence and uniqueness about the solution for a class of stochastic fractional-order differential equation systems are investigated, where the fractional derivative is described in Caputo sense. The fractional calculus, stochastic analysis techniques and the standard Picard's iteration are used to obtain the required results, the nonlinear term is satisfied with some non-Lipschitz conditions (where the classical Lipschitz conditions are special cases). The stochastic fractional-order Newton-Leipnik and Lorenz systems are provided to illustrate the obtained theory, and numerical simulation results are also given by the modified Adams predictor-corrector scheme.

研究の動機と目的

• キャプート微分を用いた確率的分数階微分方程式系の解の存在および一意性を確立すること。
• 標準的なリプシッツ条件をより一般的な非リプシッツ条件に緩和することで、古典的な存在および一意性結果を拡張すること。
• 確率的分数階カオス的系の数値シミュレーションを通じて、理論的枠組みを実証すること。
• このような系を数値的に解くために、修正されたアダムス予言・補正スキームの有効性を検証すること。
• 分数階数および確率的ノイズがニュートン＝ライプニッツおよびローレンツ系におけるカオス的ダイナミクスに与える影響を分析すること。

提案手法

• 記憶効果をモデル化するために、キャプート型分数階微分を用いる。
• 確率的解析的手法およびイト等長性を用いて、ウィーナー過程駆動のノイズを扱う。
• 非線形項における非リプシッツ条件の下で、存在および一意性を示すためにピカードの反復法を適用する。
• 必要な成長および連続性条件を満たすために、非線形関数 F(x) および σ(x) の境界を導出する。
• 確率的分数階系を数値的に解くために、修正されたアダムス予言・補正スキームを実装する。
• 状態依存ノイズ σ(x) = μx² を持つ確率的分数階ローレンツおよびニュートン＝ライプニッツ系を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キャプート微分を用いた確率的分数階微分方程式系が、どのような条件下で一意な解を有するか。
• RQ2 非リプシッツ連続非線形項は、このような系における解の存在および一意性にどのように影響するか。
• RQ3 修正されたアダムス予言・補正スキームは、確率的分数階系におけるカオス的挙動を正確にシミュレートできるか。
• RQ4 分数階数 α は、ローレンツおよびニュートン＝ライプニッツ系における安定性および確率的アトラクタの構造にどのように影響するか。
• RQ5 状態依存確率的ノイズは、分数階系におけるカオス的ダイナミクスの形状をどのように規定するか。

主な発見

• 状態依存ノイズ σ(x) = μx² を持つ確率的分数階ニュートン＝ライプニッツおよびローレンツ系が、成功裏にモデル化された。
• 両系の非線形項は非リプシッツ条件を満たしており、明示的に導出された成長境界 K₂ = ‖A‖² + (‖B‖² + 3μ)(2‖x₀‖² + δ) を満たす。
• h = 0.005 での数値シミュレーションにより、α = 0.88 および α = 0.99 の条件下でカオス的挙動および確率的アトラクタが確認された。
• x-y-z 空間および射影平面における位相図から、カオス的共鳴および確率的効果の出現が観察された。
• 分数階数 α が 1.0 に近づくにつれて、確率的アトラクタはより安定的となり、古典的整数階系への収束が示唆された。
• 修正されたアダムス予言・補正スキームは、これらの確率的分数階系のダイナミクスをシミュレートする上で実用的かつ効果的であることが判明した。