[論文レビュー] On the SU(2,1) representation space of the Brieskorn homology spheres

Vu The Khoi|ArXiv.org|Nov 14, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Brieskorn同調球面のSU(2,1)表現空間について、特定の群元およびその交換子のトレースを用いたトレース座標パラメータライゼーションを提供する。非可約表現は、$xy$、$x^{-1}y$、および$[x,y]$のトレースの虚部によって、共役を除いて分類可能であることが証明され、この結果を応用して、$Σ(2,3,13)$におけるオルビフォールド・トーラル・インバリアントが、$Σ(2,3,11)$では5つの成分を検出できるのにもかかわらず、$Σ(2,3,13)$の連結成分を区別できないことを示している。

ABSTRACT

In this paper, we give a parameterization of the SU(2,1) representation space of the Brieskorn homology spheres using the trace coordinates. As applications, we give an example which shows that the orbifold Toledo invariant in \cite{krebs} does not distinguish the connected components of the PU(2,1) representation space.

研究の動機と目的

• Brieskorn同調球面のSU(2,1)表現空間に、トレース不変量を用いた座標系を構築すること。
• 重要な群元のトレースデータに基づいて、非可約表現を共役を除いて分類すること。
• オルビフォールド・トーラル・インバリアントが、PU(2,1)表現空間の連結成分を区別する能力を調査すること。
• 特定のBrieskorn球面、$Σ(2,3,11)$および$Σ(2,3,13)$の表現空間を明示的に記述すること。
• トーラルインバリアントが、特定の状況ではすべての連結成分を検出できないことが示され、これは既知の下界工具であるにもかかわらず。

提案手法

• ランク2の自由群における不変式環論および代数的関係を用いて、SU(2,1)行列のトレース恒等式を導出する。
• トレース恒等式を応用し、表現空間を座標 $t_{xy}$、$t_{x^{-1}y}$、および $\Im(t_{[x,y]})$ で表現する。
• 楕円的要素の固有値タイプ（正/負）に基づくSU(2,1)における共役類の分類を適用する。
• 主定理を応用して、$Σ(2,3,11)$および$Σ(2,3,13)$に対する明示的表現を計算するが、$ρ(h) = I$ を仮定する。
• コンピュータ支援探索を用いて、孤立した非可約表現を列挙し、PU(2,1)商空間内での相異なる性を検証する。
• 連結成分の数とオルビフォールド・トーラル・インバリアントの値を比較し、その識別能力を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Brieskorn同調球面のSU(2,1)表現空間は、特定の群元およびその交換子のトレース座標を用いてパラメータライズ可能か？
• RQ2 2つの非可約SU(2,1)表現が、$xy$、$x^{-1}y$、および$[x,y]$のトレースの虚部が一致する場合に限り、共役であると言えるか？
• RQ3 オルビフォールド・トーラル・インバリアントは、Brieskorn同調球面のPU(2,1)表現空間の連結成分を完全に区別できるか？
• RQ4 $\mathcal{R}^{*}_{\rm SU(2,1)}(\Sigma(2,3,11))$および$\mathcal{R}^{*}_{\rm SU(2,1)}(\Sigma(2,3,13))$にいくつの非可約表現が存在し、それらはトーラルインバリアントとどのように関係するか？
• RQ5 トーラルインバリアントが下界工具として機能するにもかかわらず、PU(2,1)表現空間において連結成分を区別できない場合があるか？

主な発見

• Brieskorn同調球面のSU(2,1)表現空間は、$t_{xy}$、$t_{x^{-1}y}$、および$\Im(t_{[x,y]})$のトレースによって完全にパラメータライズされ、共役性はこれらの不変量によって決定される。
• $\Sigma(2,3,11)$では、$\mathcal{R}^{*}_{\rm SU(2,1)}$に正確に5つの非可約表現が存在し、すべて$\rho(h) = I$ を満たし、$\mathcal{R}^{*}_{\rm PU(2,1)}$では5つの異なる点を形成する。これはトーラルインバリアントの下界と一致する。
• $\Sigma(2,3,13)$では、$\mathcal{R}^{*}_{\rm SU(2,1)}$に正確に8つの孤立した非可約表現が存在し、すべて$\rho(h) = I$ を満たし、$\mathcal{R}^{*}_{\rm PU(2,1)}$では8つの異なる点を形成する。
• オルビフォールド・トーラル・インバリアントは、$\Sigma(2,3,13)$に対して7つの異なる値しか取り得ず、表現空間に8つの連結成分があるのにもかかわらず、すべての成分を区別できないことが示された。
• $\Sigma(2,3,11)$では、トーラルインバリアントが正しく5つの成分を検出しており、この場合に下界が達成されていることが示された。
• リストアップされたすべての表現において、交換子トレースの虚部 $\Im(t_{[x,y]})$ は0であるため、交換子は固有値が単位円上にある楕円的要素であることが示唆される。