[論文レビュー] On the submartingale problem for reflected diffusions in domains with piecewise smooth boundaries

Weining Kang, Kavita Ramanan|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、境界が区分的滑らかで、反射ベクトル場が区分的連続である領域における拡散過程の斜確率的SDE（SDER）の弱解の存在および一意性と、適切に定式化された部分マルティンゲール問題の適切な定義との間の厳密な同値性を確立する。主な貢献は、ストロックとヴァラドハンの古典的同値性を滑らかでない領域における斜めに反射する拡散過程へ一般化した点であり、境界解析と測度論的技法を精密に用いることで検証されている。

ABSTRACT

Two frameworks that have been used to characterize reflected diffusions include stochastic differential equations with reflection and the so-called submartingale problem. We introduce a general formulation of the submartingale problem for (obliquely) reflected diffusions in domains with piecewise C^2 boundaries and piecewise continuous reflection vector fields. Under suitable assumptions, we show that well-posedness of the submartingale problem is equivalent to existence and uniqueness in law of weak solutions to the corresponding stochastic differential equation with reflection. Our result generalizes to the case of reflecting diffusions a classical result due to Stroock and Varadhan on the equivalence of well-posedness of martingale problems and well-posedness of weak solutions of stochastic differential equations in d-dimensional Euclidean space. The analysis in the case of reflected diffusions in domains with non-smooth boundaries is considerably more subtle and requires a careful analysis of the behavior of the reflected diffusion on the boundary of the domain. In particular, the equivalence can fail to hold when our assumptions are not satisfied. The equivalence we establish allows one to transfer results on reflected diffusions characterized by one approach to reflected diffusions analyzed by the other approach. As an application, we provide a characterization of stationary distributions of a large class of reflected diffusions in convex polyhedral domains.

研究の動機と目的

• 滑らかでない領域における反射付き拡散過程について、マルティンゲール問題とSDEの間のストロックとヴァラドハンの古典的同値性を一般化すること。
• 境界が区分的C²で、反射ベクトル場が区分的連続である領域に対して、部分マルティンゲール問題の厳密な定式化を提供すること。
• 提案された部分マルティンゲール問題の定式化が、対応するSDERの弱解の適切な定義と同値であることを証明することで、その妥当性を検証すること。
• 反射付き拡散過程の文脈で、部分マルティンゲール問題とSDERの両フレームワーク間での結果の移行を可能にすること。
• 凸多面体領域における反射付き拡散過程の定常分布を特徴づけること。

提案手法

• 境界が区分的C²で、反射ベクトル場が区分的連続である領域における斜めに反射する拡散過程のための部分マルティンゲール問題の一般定式化を導入する。
• 境界点における局所的反射性質の分析を実施し、正則境界点（G）と特異境界点（U）を区別する。
• 反射成分を積分表現によって表現するため、確率測度μとその正則化版˜μを構築する。
• クラスHの稠密なクラスに属するテスト関数を用いて、半マルティンゲール分解と境界挙動を分析する。
• 条件付き確率測度と可測性の議論を用いて、関係する確率過程が適切に定義され、適応的であることを保証する。
• 伊藤の公式と関数解析的技法を用いて、マルティンゲール成分および反射測度の積分表現を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界が滑らかでない領域において、部分マルティンゲール問題の適切な定義が、対応するSDERの弱解の存在および一意性を示すか？
• RQ2 マルティンゲール問題とSDEの間の古典的同値性は、境界が区分的滑らかで、反射が斜めである拡散過程へ拡張可能か？
• RQ3 境界特異点付近での反射付き拡散過程を正しく特徴づけるために、部分マルティンゲール問題の定式化に必要な条件は何か？
• RQ4 部分マルティンゲール定式化において、反射機構を確率測度を用いてどのように厳密に表現できるか？
• RQ5 部分マルティンゲール問題とSDERの間の同値性は、どのような条件下で成立しなくなるか？

主な発見

• 適切な仮定のもとで、部分マルティンゲール問題の適切な定義は、対応するSDERの弱解の存在および一意性と同値である。
• 境界の正則性または反射ベクトル場の連続性の仮定が満たされない場合には、同値性は成立しない。
• 境界が区分的C²で、反射ベクトル場が区分的連続である領域に対して、部分マルティンゲール問題の一般定式化が提供された。
• 反射機構は確率測度μとその正則化版˜μによって特徴づけられ、境界相互作用を捉えている。
• 解析により、部分マルティンゲール問題の定式化が滑らかでない領域に対しても正当かつ一貫していることが確認され、長年の未解決問題が解決された。
• 応用として、凸多面体領域における広範なクラスの反射付き拡散過程の定常分布が特徴づけられた。