[論文レビュー] On the sum between a closable operator $T$ and a $T$-bounded operator

Dan Popovici, Zoltán Sebestyén+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルト空間上の閉可な有界でない作用素の摂動理論を、形式 $\begin{pmatrix} I & A \\ -B & I \end{pmatrix}$ の 2×2 行列作用素の値域性質に基づく新しい枠組みを導入することで発展させる。主な貢献は、$T$ が閉可であり、$S$ が特定の値域および双対性条件を満たす $T$-有界である場合、$T + S$ が閉可であり、その随伴作用素が適切な $R$ を用いて $T^* + R$ に等しくなるという一般化された摂動定理の確立である。これは、ヘス＝カトー、カトー＝レリッヒ、ウストの古典的結果を、より弱い仮定の下で拡張するものである。

ABSTRACT

We provide several perturbation theorems regarding closable operators on a real or complex Hilbert space. In particular we extend some classical results due to Hess--Kato, Kato--Rellich and Wüst. Our approach involves ranges of matrix operators of the form $\left(\begin{array}{cc}\!\! I & A\!\!\\ \!\! -B& I\!\!\end{array} ight)$.

研究の動機と目的

• 標準的な $T$-有界性条件を弱めるために、非有界作用素の古典的摂動定理を一般化すること。
• 閉可作用素 $T$ と $T$-有界作用素 $S$ の和 $T + S$ が再び閉可であるための十分条件を確立すること。
• $I$, $T$, $S$ およびそれらの随伴作用素を含む行列作用素の値域を用いて、$T + S$ の随伴作用素を特徴付けること。
• ヘス＝カトー、カトー＝レリッヒ、ウストの結果を、作用素行列の値域を用いた共通の枠組みで統一的かつ拡張すること。
• 従来の結果よりも弱い仮定の下で、$T + S$ が本質的に自己随伴または自己随伴であることを保証する条件を提供すること。

提案手法

• 定義域および随伴作用素の性質を特徴付けるために、行列作用素 $\begin{pmatrix} I & A \\ -B & I \end{pmatrix}$ の値域を中心的な解析的道具として用いる。
• 双対性補題（補題 2.1）を適用し、値域および双対性条件から、定義域が稠密であることと随伴関係が導かれる。
• 行列作用素 $\begin{pmatrix} I & A \\ -B & I \end{pmatrix}$ の値域が稠密または閉である場合、かつ双対性が成り立つならば、$A$ と $B$ は互いに随伴作用素であることが示される。
• 鍵となる技術的条件を導入する：$x \in \operatorname{dom}T$ に対して $\|Sx\|^2 \leq \|Tx\|^2 + \|x\|^2$ が成り立つ。これは $T$-有界性を一般化するものである。
• 行列作用素の枠組みを用いて、$T + S$ が閉可であり、かつ $(T + S)^* = T^* + R$ を満たす特定の $R$ が存在するための条件を導出する。
• 対称作用素、自己随伴作用素、本質的に自己随伴作用素に理論を適用し、古典的摂動定理の一般化版を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉可作用素 $T$ と $T$-有界作用素 $S$ の和 $T + S$ が再び閉可であるための条件は何か？
• RQ2 $T$ が閉可で $S$ が $T$-有界であるとき、$T + S$ の随伴作用素はどのように特徴付けられるか？
• RQ3 行列作用素の値域を用いることで、ヘス＝カトー、カトー＝レリッヒ、ウストの古典的摂動定理を、より弱い仮定にまで拡張できるか？
• RQ4 行列作用素 $\begin{pmatrix} I & A \\ -B & I \end{pmatrix}$ の値域は、$T + S$ の閉可性および随伴構造を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 $T$ が本質的に自己随伴または自己随伴であるとき、$T + S$ が本質的に自己随伴または自己随伴であるための条件は何か？

主な発見

• もし $T$ が閉可であり、$S$ が $T$-有界で、すべての $x \in \operatorname{dom}T$ に対して $\|Sx\|^2 \leq \|Tx\|^2 + \|x\|^2$ が成り立ち、かつ行列作用素 $\begin{pmatrix} I & T^* \\ -T & I \end{pmatrix}$ の値域が稠密であるならば、$T + S$ は閉可であり、$(T + S)^* = T^* + R$ を満たす特定の $R$ が存在する。
• 摂動定理はヘス＝カトーの結果を拡張する：$\|Sx\|^2 \leq \|Tx\|^2 + \|x\|^2$ かつ $\|S^*k\|^2 \leq q\|T^*k\|^2 + \|k\|^2$（$q < 1$）が成り立つならば、$T + S$ は閉可であり、$(T + S)^* = T^* + S^*$ が成り立つ。
• 本質的に自己随伴な $S$ に対して、$\operatorname{dom}S \subseteq \operatorname{dom}T$ かつ $\|Th\|^2 \leq \|Sh\|^2 + \|h\|^2$ が成り立ち、$T$ が $\operatorname{dom}S$ 上で対称であるならば、$S + T$ は本質的に自己随伴である。
• もし $S$ が自己随伴であり、$q < 1$ に対して $\|Th\|^2 \leq q\|Sh\|^2 + \|h\|^2$ が $\operatorname{dom}S$ 上で成り立ち、$T$ が $\operatorname{dom}S$ 上で対称であるならば、$S + T$ は自己随伴である。
• $R$ が $B^*$-有界で $B^*$-有界係数が 1 より小さいならば、$B^* + R$ は閉じていることが保証され、これが摂動結果の有効性を保証する。
• 双対性および定義域の整合性の下で、$\operatorname{ran}\begin{pmatrix} I & A \\ -B & I \end{pmatrix} = \mathscr{H}_4 \times \mathscr{H}_3$ であれば、$D^* = A$ および $C^* = B$ が導かれる。