[論文レビュー] On the sums of series of reciprocals

Leonhard Euler|ArXiv.org|Jun 20, 2005

History and Theory of Mathematics被引用数 3

ひとこと要約

オイラーは、正弦級数の根と円周率の四捨五入（円積問題）を関連させることで、整数の逆数の偶数乗の和に対する正確な閉形式の式を導出する。彼は自然数の平方の逆数の和が π²/6 に等しいことを示し、ベルヌーイ数を用いてより高い偶数乗へ一般化する。これは解析的数論および特殊関数の分野における基礎的結果を確立する。

ABSTRACT

This translation has been published in Stephen Hawking (ed.), "God Created the Integers", published in 2007 by Running Press. There may have been some changes to the final published version and this copy. This is a translation from the Latin original, "De summis serierum reciprocarum" (1735). E41 in the Enestrom index. In this paper Euler finds an exact expression for the sum of the squares of the reciprocals of the positive integers, namely pi^2/6. He shows this by applying Newton's identities relating the roots and coefficients of polynomials to the power series of the sine function. Indeed, in other words this result is zeta(2)=pi^2/6, and Euler also works out zeta(4),zeta(6),...,zeta(12). His method will work out zeta(2n) for all n, but he does not give a general expression for zeta(2n); he gives a general expression involving the Bernoulli numbers in a latter paper.

研究の動機と目的

• 長年の未解決問題である、無限級数 ∑1/n^{2k} の閉形式表現を求める。これは広範な努力にもかかわらず、解決に至らなかった。
• 逆数の和の和と、特に円周率 π にまつわる円の幾何学的性質との深い関係を確立する。
• 三角関数級数の無限積因数分解に基づく、新たな手法を開発し、根の対称和を抽出する。
• 解をすべての偶数乗へ一般化し、ベルヌーイ数とリーマン・ゼータ関数を含むパターンを明らかにする。
• ζ(2)、ζ(4)、ζ(6) などの正確な解析的表現を提供し、解析学、数論、幾何学を結びつける。

提案手法

• 正弦関数を弧長 s の無限級数として表現する：sin(s) = s - s³/(3!) + s⁵/(5!) - s⁷/(7!) + ⋯
• 正弦級数を、同じ正弦値 y をとるすべての弧に対応する無限個の根を持つ超越方程式として再解釈する。
• すべての根に基づく無限積に式を因数分解する：(1 - s/A)(1 - s/B)(1 - s/C)⋯、ここで A, B, C, ... は根である。
• 無限積を展開し、元の級数の係数と一致させることで、根の逆数の対称和を導出する。
• sin(s)/s の既知の級数展開を用いて、s²、s⁴ などの係数を特定し、それらを 1/n²、1/n⁴ などの和と関連付ける。
• π との関連を認識することで、和が 1/n² = π²/6 に等しいことを示し、ベルヌーイ数を含む再帰的関係を用いて高次の偶数乗へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然数の平方の逆数の和 ∑_{n=1}^∞ 1/n² の正確な値は何か？ そして解析的にどのように導出できるか？
• RQ2 偶数整数 2k に対して、和 ∑_{n=1}^∞ 1/n^{2k} の一般式を導出できるか？
• RQ3 逆数の偶数乗の和は、円周率 π および円積問題とどのように関係しているか？
• RQ4 正弦関数の無限積展開が、これらの和を導出する上で果たす役割は何か？
• RQ5 sin(s) のべき級数の係数を用いて、根の対称関数を抽出できるか？ それらはそれぞれ何を表すか？

主な発見

• 自然数の平方の逆数の和は正確に π²/6 に等しく、すなわち ∑1/n² = π²/6 である。
• 自然数の4乗の逆数の和は π⁴/90 に等しく、すなわち ∑1/n⁴ = π⁴/90 である。
• 自然数の6乗の逆数の和は π⁶/945 に等しく、すなわち ∑1/n⁶ = π⁶/945 である。
• 自然数の8乗の逆数の和は π⁸/9450 に等しく、すなわち ∑1/n⁸ = π⁸/9450 である。
• 自然数の10乗の逆数の和は π¹⁰/93555 に等しく、すなわち ∑1/n¹⁰ = π¹⁰/93555 である。
• 12乗の場合、和は (691/6825) × π¹²/93555 に等しく、ベルヌーイ数 B₁₂ = 691/2730 が係数に現れる。