[論文レビュー] On the super edge-magicness of graphs of equal order and size

Susana-Clara López, Francesc-Antoni Muntaner-Batle+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2017

Graph Labeling and Dimension Problems被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、次数とサイズが等しいグラフの超辺魔的性質を調査し、特にループとスターファミリーを含むものに焦点を当てる。⊗h積と隣接行列解析を用いて、2L ∪ LK₁,n などの特定の構成が超辺魔的でないことを証明し、頂点-辺の不均衡や偶奇性といった一般的な障害要因とは異なる、まれな否定的結果を提示する。主な貢献は、このクラスにおける超辺魔的グラフの体系的同定であり、構造的洞察を伴う肯定的および否定的結果を含む。

ABSTRACT

The super edge-magicness of graphs of equal order and size has been shown to be important since such graphs can be used as seeds to answer many questions related to (super) edge-magic labelings and other types of well studied labelings, as for instance harmonious labelings. Also other questions related to the area of combinatorics can be attacked and understood from the point of view of super edge-magic graphs of equal order and size. For instance, the design of Steiner triple systems, the study of the set of dual shuffle primes and the Jacobsthal numbers. In this paper, we study the super edge-magic properties of some types of super edge-magic graphs of equal order and size, with the hope that they can be used later in the study of other related questions. The negative results found in last section are specially interesting since these kind of results are not common in the literature. Furthermore, the few results found in this direction usually meet one of the following reasons: too many vertices compared with the number of edges; too many edges compared with the number of vertices; or parity conditions. In this case, all previous reasons fail in our results.

研究の動機と目的

• 中心にループを含むループとスターファミリーからなる超辺魔的グラフを、特に次数とサイズが等しい場合に特徴づけること。
• 等しい次数とサイズのクラスにおける有効な種のグラフを同定することで、⊗h積構成の適用範囲を拡張すること。
• 頂点-辺の不均衡や偶奇性の問題に起因しない、超辺魔的性の稀な否定的結果を提供すること。
• 超辺魔的ラベリングとジャコブススベル数やステイナー三元系といった組合せ構造との関係を確立すること。

提案手法

• 有向グラフの⊗h積を用いて、既知の種のグラフから新しい超辺魔的グラフを生成する。
• Lemma 1.1を適用して、超辺魔的性を、辺の和が連続整数集合を形成する頂点ラベリングの存在問題に再定式化する。
• 有向グラフの隣接行列を分析し、超辺魔的ラベリングから生じる構造的制約を強制する。
• 超辺魔的補完ラベリングとその行列回転性質（Lemma 1.3）を用いて、矛盾を導出する。
• 隣接行列の行パターンに関する場合分けを用いて、非超辺魔的ケースにおける可能なラベリングを除外する。
• Theorem 1.1を適用して、種の有向グラフが超辺魔的であれば、その⊗h積も超辺魔的であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数とサイズが等しい場合に、中心にループを含むループとスターファミリーからなるグラフのどの族が超辺魔的か？
• RQ2 等しい次数とサイズの種のグラフに対して、⊗h積構成を信頼性を持って新しい超辺魔的グラフを生成するのにも適用可能か？
• RQ3 L ∪ LK₁,n や 2L ∪ LK₁,n といった特定のグラフが、一般的な条件を満たしているにもかかわらず、なぜ超辺魔的でないのか？
• RQ4 このようなグラフ族において、超辺魔的性を普遍的に妨げる構造的または代数的不変量が存在するか？
• RQ5 自然数 n と s に対して、形式 nL ∪ nLK₁,s の超辺魔的グラフの集合はどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 任意の n ∈ ℕ に対して、グラフ 2L ∪ LK₁,n は超辺魔的でない。これは、超辺魔的ラベリング下での隣接行列構造における背理法によって示された。
• 任意の n ∈ ℕ に対して、グラフ L ∪ LK₁,n は超辺魔的でない。これは、連続和条件と対角制約を満たすことが不可能であるためである。
• グラフ 2L ∪ LK₁,n が超辺魔的でないのは、必要な隣接行列の行パターンと対角被覆を満たす有効なラベリングが存在しないためである。
• すべての s ∈ ℕ に対して、族 (2s+1)LK₁,n は超辺魔的である。これは、ループ付きスターファミリーの奇数倍に顕著な構造的パターンを示している。
• すべての n ∈ ℕ に対して、族 2LK₁,₁ ∪ LK₁,n は超辺魔的である。これは、複数のスターファミリーとループの特定の組み合わせが超辺魔的になり得ることを示している。
• デューグラフ（2LK₁,₁ ∪ LK₁,n として定義される）は超辺魔的であり、次数とサイズが等しい新しい超辺魔的グラフのクラスを提供している。