[論文レビュー] On the superselection theory of the Weyl algebra for diffeomorphism invariant quantum gauge theories

Hanno Sahlmann, Thomas Thiemann|ArXiv.org|Feb 21, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 23被引用数 46

ひとこと要約

この論文は、微分同相不変量子ゲージ理論におけるAshtekar-Lewandowski (AL) 表現の一意性を、Weyl代数に類似した新しい$C^*$-代数を導入することによって確立する。わずかな追加仮定の下で、微分同相およびゲージ不変性、完全性および連続性の条件を満たす表現として、ユニタリ同値を除いてAL表現が唯一のものであることを証明し、ループ量子重力における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Much of the work in loop quantum gravity and quantum geometry rests on a mathematically rigorous integration theory on spaces of distributional connections. Most notably, a diffeomorphism invariant representation of the algebra of basic observables of the theory, the Ashtekar-Lewandowski representation, has been constructed. This representation is singled out by its mathematical elegance, and up to now, no other diffeomorphism invariant representation has been constructed. This raises the question whether it is unique in a precise sense. In the present article we take steps towards answering this question. Our main result is that upon imposing relatively mild additional assumptions, the AL-representation is indeed unique. As an important tool which is also interesting in its own right, we introduce a C*-algebra which is very similar to the Weyl algebra used in the canonical quantization of free quantum field theories.

研究の動機と目的

• Canonical量子重力におけるAshtekar-Lewandowski (AL) 表現が、微分同相およびゲージ不変な表現として一意であるかどうかを特定すること。
• AL表現が数学的に洗練されており物理的に顕著であるにもかかわらず、代替表現が存在しないという事実を解消すること。
• 微分同相およびゲージ不変性に加えて、物理的に妥当で弱い追加仮定のもとで一意性を確立すること。
• バックグラウンド独立なゲージ理論に適した、Weyl代数に類似した新しい$C^*$-代数的枠組みを構築すること。
• ループ量子重力の背後にある表現論に厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• 自由量子場理論で用いられるWeyl代数に類似した$C^*$-代数構造を、量子ゲージ理論のホロノミー・フラックス代数に特化して導入する。
• 表現に完全性、微分同相不変性、ゲージ不変性を課すとともに、技術的な連続性および可測性の仮定を追加する。
• ゲージ群および微分同相群の平均化技術を用いて問題を不変状態に還元し、Peter-Weyl定理を活用する。
• リー代数生成子の指数写像を用いてフラックス演算子の$C^\infty$-ベクトルを構成し、表現空間における滑らかなベクトルの使用を可能にする。
• Peter-Weyl定理を適用して行列係数を分解し、一般化接続空間上の測度がAshtekar-Lewandowski測度$\mu_0$でなければならないことを示す。
• 全対称性群に関して不変な状態が唯一AL測度であることを示し、表現がユニタリ同値であることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子重力におけるホロノミー・フラックス代数の微分同相およびゲージ不変な表現として、Ashtekar-Lewandowski表現は一意的か？
• RQ2 物理的に妥当で弱い追加仮定のもとで、AL表現の一意性は確立可能か？
• RQ3 バックグラウンド独立な量子場理論において、Weyl代数の厳密な類似物として機能する代数的構造は何か？
• RQ4 フラックス演算子の$C^\infty$-ベクトルを体系的に構成する方法は何か？ これにより滑らかさおよび対称性条件との整合性が保証される。
• RQ5 ゲージ群および微分同相群の平均化手続きは、一般化接続空間上の不変測度の可能性をどの程度制限するか？

主な発見

• 完全性、微分同相不変性、ゲージ不変性、行列係数の連続性という仮定のもとで、Ashtekar-Lewandowski表現はユニタリ同値を除いて一意的である。
• 一般化接続空間上の不変測度として唯一可能なのはAshtekar-Lewandowski測度$\mu_0$であり、これは微分同相およびゲージ不変である。
• フラックス演算子の$C^\infty$-ベクトルを$Y^+_j(S)$生成子を用いて構成することで、不変かつ稠密な滑らかな定義域が得られ、これにより表現空間の性質が保証される。
• ゲージ群の平均化により、不変性を達成するために離散的サブグループの必要性が不要となり、一意性の証明が簡素化される。
• Peter-Weyl定理を適用することで、表現の行列係数が構造群上のハール測度と整合していることが示され、$\mu_\nu = \mu_0$が導かれる。
• 証明により、所定の条件を満たす任意の表現は、AL表現とユニタリ同値でなければならないことが示され、AL表現の物理的および数学的優位性が確認される。