[論文レビュー] On the Supersymmetric Spectra of two Planar Integrable Quantum Systems

M. A. González León, M. de la Torre Mayado+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2011

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、回転対称性を用いない非回転対称性演算子を用いて、2つの平面的量子系（ケプラー／クーロン系およびユリウス／クーロン系）の超対称スペクトルを分析する。解析的に、超対称的修正ユリウス／クーロン系が、超対称的ケプラー／クーロン系の準等スペクトル的変形であることを示し、後者は前者の中心間距離がゼロに近づく極限として得られることが明らかにされた。

ABSTRACT

Two planar supersymmetric quantum mechanical systems built around the quantum integrable Kepler/Coulomb and Euler/Coulomb problems are analyzed in depth. The supersymmetric spectra of both systems are unveiled, profiting from symmetry operators not related to invariance with respect to rotations. It is shown analytically how the first problem arises at the limit of zero distance between the centers of the second problem. It appears that the supersymmetric modified Euler/Coulomb problem is a quasi-isospectral deformation of the supersymmetric Kepler/Coulomb problem.

研究の動機と目的

• 2次元可積分平面的量子系、すなわちケプラー／クーロン系およびユリウス／クーロン系の超対称スペクトルを調査すること。
• 回転不変性を超える対称性演算子を用いて、これらの系における超対称性の出現を明らかにすること。
• 2つの系の間のスペクトル的関係を確立すること、特に2つの中心が1つに合体する極限における関係を特に注目すること。
• 修正ユリウス／クーロン系がケプラー／クーロン系の準等スペクトル的変形であることを示すこと。
• 1次元モデルにとどまらない、2次元で非自明に分離可能な系における超対称量子力学の理解を拡張すること。

提案手法

• 2次元で2つのボソン的自由度と2つのフェルミオン的自由度を持つ ${\cal N}=2$ 超対称量子力学を用いる。
• クリフォード代数表現を用いて、スーパーチャージと超対称ハミルトニアンを構成する。
• 楕円座標と極座標を用いて、両系のシュレーディンガー方程式における変数分離を行う。
• ユリウス／クーロン系の場合に、結合したラザヴィとホイットカー＝ヒル方程式を用いて束縁状態問題を解く。
• 因数分解法とスペクトル分解技術を用いて、散乱状態およびゼロモードを分析する。
• 2つの中心の間隔がゼロに近づく極限を用いて、ユリウス／クーロン系とケプラー／クーロン系を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非回転対称性演算子を用いた場合、平面的ケプラー／クーロン系とユリウス／クーロン系の超対称スペクトルはどのように異なるか？
• RQ2 超対称的修正ユリウス／クーロン系と超対称的ケプラー／クーロン系との間のスペクトル的関係は何か？
• RQ3 2中心系の超対称スペクトルは、中心間隔がゼロに近づく極限で1中心系のスペクトルにどのように還元されるか？
• RQ4 楕円座標における変数分離を用いて、ユリウス／クーロン問題の超対称構造を完全に特徴づけられるか？
• RQ5 2中心系ではフェルミオン的ゼロモードが存在するが1中心系では存在しないのはなぜか？これは曲面座標における超対称性に何を示唆するか？

主な発見

• 超対称的修正ユリウス／クーロン系が、超対称的ケプラー／クーロン系の準等スペクトル的変形であることが示された。
• ケプラー／クーロン系は、ユリウス／クーロン系の2中心が距離ゼロに近づく極限として得られる。
• ユリウス／クーロン系の束縁状態は、結合したラザヴィ方程式とホイットカー＝ヒル方程式の解から構成される。
• 超対称ヒルベルト空間の構造は、非超対称系よりも複雑であり、$N$次元では$2^N$個の部分空間を有する。
• フェルミオン的ゼロモードは2中心系に存在するが1中心系には存在せず、幾何学的構造が超対称性に非自明な役割を果たしていることを示唆する。
• スペクトル分解により、超対称ホッジ構造が保存されていることが判明し、直交および非直交モードからの寄与が明確に分離されている。