[論文レビュー] On the support of the Grover walk on higher-dimensional lattices

Norio Konno, Sarato Takahashi|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2020

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$|\lambda|=1$ に対する固有値問題 $U_G\Psi = \lambda\Psi$ を解くことにより、$d$ 次元格子上のグローバー散乱の定常測度の最小台サイズを特定する。移動型シフトの場合、最小台は $2^d$ 点である。フリップフロップ型シフトの場合、$d \geq 2$ では 4 点であり、1次元では有限台が存在しない。結果はスペクトル的および代数的手法を用いた先行研究を精緻化するものである。

ABSTRACT

This paper presents the minimum supports of states for stationary measures of the Grover walk on the d-dimensional lattice by solving the corresponding eigenvalue problem. The numbers of the minimum supports for moving and flip-flop shifts are 2^d (d ge 1) and 4 (d ge 2), respectively.

研究の動機と目的

• グローバー散乱の $\mathbb{Z}^d$ 上での定常測度を支持する格子点の最小数を特定すること。
• 固有値解析を用いて、先行研究における台サイズに関する矛盾を解消し、それらを改善すること。
• 移動型シフトを用いた 1 次元グローバー散乱に対して、有限台が存在しないことを示すこと。
• スペクトル写像とフーリエ解析からの結果を統合・確認するため、固有値問題の直接解法を用いること。

提案手法

• 定常振幅を特定するため、$|\lambda|=1$ に対する固有値問題 $U_G\Psi = \lambda\Psi$ を解く。
• グローバー コイン行列 $G$ を用いて、$\mathbb{Z}^d$ 上での時間発展演算子 $U_G$ を定義する。
• 射影演算子 $P_{2i-1}, P_{2i}$ を用いて、ユニタリ時間発展演算子を方向的シフトに分解する。
• スペクトル写像定理と代数的制約を用いて、台サイズの上限を導出する。
• $d=2$ および $d \geq 3$ に対して、最小台を持つ明示的な定常状態の構成を行う。
• 振幅配置の不変性を確認することで、台サイズが時間発展演算子の下で不変であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 移動型シフトを用いた $\mathbb{Z}^d$ 上のグローバー散乱に対して、定常測度を支持する格子点の最小数は何か？
• RQ2 フリップフロップ型シフトを用いた $\mathbb{Z}^d$ 上のグローバー散乱に対して、定常測度を支持する格子点の最小数は何か？
• RQ3 移動型シフトを用いた 1 次元グローバー散乱に対して、有限台を持つ定常測度は存在するか？
• RQ4 本研究の結果は、先行のフーリエ解析的およびスペクトル写像的手法とどのように比較できるか？

主な発見

• 移動型シフトモデルの $\mathbb{Z}^d$（$d \geq 1$）上では、最小台サイズは $2^d$ である。
• フリップフロップ型シフトモデルの $\mathbb{Z}^d$（$d \geq 2$）上では、最小台サイズは 4 である。
• 移動型シフトを用いた 1 次元グローバー散乱に対しては、固有値系における背理法により、有限台が存在しないことが示された。
• フリップフロップ型シフトの下で、正確に 4 つの非ゼロ成分を持つ定常状態が $d \geq 2$ に対して明示的に構成された。
• $d=2$ および $d \geq 3$ における結果は、ステファナクらおよびヒグチらの先行研究を一致させるとともに一般化している。
• $\#(S(\Psi^{(\lambda)}_\star)) = 4$ を満たす $\Psi^{(\lambda)}_\star$ の構成により、フリップフロップ型シフトにおける境界のタイトさが確認された。