[論文レビュー] On the symplectic invariance of log Kodaira dimension

Mark McLean|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特定の条件下で、滑らかなアフィン多様体に対して対数コイダラ次元がシンプレクティック不変量であることを確立している。次元2では、シンプレクティック同相写像のもとで保存される。次元3では、対数コイダラ次元が2であり、ある種のコンパクト化条件を満たす場合、シンプレクティック同相な多様体は対数一般型にはなり得ない。主な結果は、グロモフ＝ウィッテン理論と有理被覆性の基準を介して、シンプレクティック不変量と代数幾何学を結びつけるものである。

ABSTRACT

Suppose that A and B are symplectomorphic smooth affine varieties. If A is acylic of dimension 2 then B has the same log Kodaira dimension as A. If the dimension of A is 3, has log Kodaira dimension 2 and satisfies some other conditions then B cannot be of log general type. We also show that if A and B are symplectomorphic affine varieties of any dimension then any compactification of A by a projective variety is uniruled if and only if any such compactification of B is uniruled.

研究の動機と目的

• 滑らかなアフィン多様体のシンプレクティック同相写像のもとで、代数的不変量としての対数コイダラ次元が保存されるかどうかを調査すること。
• 特に低次元において、有理被覆性やコイダラ次元といったシンプレクティック不変量を、オープンな代数的多様体へと拡張すること。
• リーマン・ドメインやグロモフ＝ウィッテンインバリアントを介したシンプレクティックトポロジー（Liouvilleドメイン、グロモフ＝ウィッテンインバリアント）と、対数コイダラ次元や有理被覆性を介した代数幾何学を結ぶ橋渡しをすること。
• プロジェクト型多様体のアフィン開部分集合としてシンプレクティック同相な部分集合をもつ場合、そのコンパクト化の有理被覆性が、そのアフィン開部分集合のシンプレクティック不変量として特徴付けられることを示すこと。

提案手法

• 有理被覆性の3つの概念を導入する：(1) シンプレクティック的なリーマン・ドメインの有理被覆性（シンプレクティック）、(2) 代数的k-有理被覆性（代数的）、(3) コンパクト化k-有理被覆性（ほぼ複素構造をもつJ-ホロモーレック曲線）。
• 正規交叉の法線被覆への退化技術を用いて、リーマン・ドメインの有理被覆性が代数的k-有理被覆性を意味することを証明する。
• より単純な技法を用いて、コンパクト化k-有理被覆性がリーマン・ドメインの有理被覆性を意味することを示す。
• グロモフ＝ウィッテンインバリアントとシンプレクティック変形技法を用いて、シンプレクティック構造と代数的不変量との関係を確立する。
• ラインバンドルとフルビーニ＝シュテュルム計量を用いて、コンパクト化上での擬上同調関数とリーマン形式を構成する。
• リーマン変形同値性を用いて、異なるリーマン・ドメインを関連づけ、シンプレクティック同相写像のもとでの不変性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかなアフィン多様体の対数コイダラ次元は、シンプレクティック同相写像のもとで不変か？
• RQ2 アフィン開部分集合のシンプレクティック不変量から、そのコンパクト化の有理被覆性を特定できるか？
• RQ3 対数コイダラ次元が2である3次元アフィン多様体の対数コイダラ次元は、シンプレクティック同相写像のもとで有界のままであるか？
• RQ4 グロモフ＝ウィッテンインバリアントやJ-ホロモーレック曲線は、オープン多様体における有理被覆性といった代数的性質をどの程度検出できるか？
• RQ5 シンプレクティック不変量は、異なる対数コイダラ次元をもつ多様体を区別できるか？

主な発見

• 滑らかなアフィン曲面において、AとBがシンプレクティック同相であり、Aがアセイクル（同調的）であれば、Bの対数コイダラ次元はAと等しい。
• 次元3では、AがBとシンプレクティック同相であり、対数コイダラ次元が2であり、滑らかな正規交叉のネフ被覆が、滑らかな被覆と線形同値であるコンパクト化をもつならば、Bは対数一般型にはなり得ない。
• AとBがシンプレクティック同相な滑らかなアフィン多様体であれば、Aの任意のプロジェクト型多様体によるコンパクト化が有理被覆であることは、Bの同様のコンパクト化が有理被覆であることに同値である。
• リーマン・ドメインの有理被覆性、代数的k-有理被覆性、コンパクト化k-有理被覆性という3つの有理被覆性の概念は、シンプレクティック同相写像のもとで、すべての3つにわたって性質が保存されるという意味で同値である。
• ラインバンドルとフルビーニ＝シュテュルム計量を用いた擬上同調関数およびリーマン形式の構成により、アフィン多様体の幾何とそのコンパクト化のシンプレクティック的制御が可能になる。
• リーマン変形同値性を用いて、コンパクト化に付随するリーマン・ドメインが、高エネルギー領域において、元のアフィン多様体とシンプレクティック同値であることを示した。