[論文レビュー] On the Systematic Constructions of Rotation Symmetric Bent Functions with Any Possible Algebraic Degrees

Sihong Su, Xiaohu Tang|arXiv (Cornell University)|May 12, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の偶数 $n = 2m \geq 2$ に対して、$n$ 変数の回転対称なバント関数を体系的に構築する手法を提示する。この手法は、2次回転対称バント関数 $f_0$ のサポートを変更することで、軌道に基づく多項式加法を用いて、任意の代数次数（2から $m$ まで）を持つバント関数を生成する。$n \geq 10$ の場合、4より大きい次数を持つような初めてのこのような構成である。

ABSTRACT

In the literature, few constructions of $n$-variable rotation symmetric bent functions have been presented, which either have restriction on $n$ or have algebraic degree no more than $4$. In this paper, for any even integer $n=2m\ge2$, a first systemic construction of $n$-variable rotation symmetric bent functions, with any possible algebraic degrees ranging from $2$ to $m$, is proposed.

研究の動機と目的

• 代数次数が 4 を超える回転対称バント関数の体系的構成の不足に対処すること。
• 偶数 $n = 2m$ に対して、代数次数が $m$ まで任意に可能な回転対称バント関数の構成という未解決問題を解消すること。
• 従来の次数 ≤4 または特定の $n$ に制限された構成とは異なり、一般化され柔軟性のある方法を提供すること。
• バント性の理論的証明と代数次数の制御を通じて、構成の妥当性を検証すること。

提案手法

• 本手法は、2次回転対称バント関数 $f_0(x) = \bigoplus_{i=0}^{m-1} x_i x_{m+i}$ を基本関数として用いる。
• 関数の構成は、$O_m(\delta)$ が $\mathbb{F}_2^m$ のベクトル $\delta$ の巡回シフト作用による軌道を表すとき、$\bigoplus_{\beta'+\beta'' \in O_m(\delta)} x^\beta$ の形の項を加えることで行われる。
• 関数の対称性と高次項の体系的生成には、$\mathbb{F}_2^m$ 内のベクトルの軌道構造を用いる。
• 得られた関数がバント関数のままであることを確認するために、ウォルシュ変換とルーカスの公式を用いる。
• 代数次数は $\delta$ のハミング重みによって制御され、$\deg(f) = \mathrm{wt}(\delta)$ となる。
• 任意の空でない部分集合 $A \subseteq \mathbf{R}_m$ を選択することで、$f = f_0 \oplus \bigoplus_{\delta \in A} \left( \bigoplus_{\beta'+\beta'' \in O_m(\delta)} x^\beta \right)$ という柔軟な構成が達成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の偶数 $n = 2m$ に対して、代数次数が 2 から $m$ までの任意の値をとる $n$ 変数の回転対称バント関数を体系的に構築することは可能か？
• RQ2 一般化された軌道に基づく方法を用いて、代数次数が 4 を超える回転対称バント関数を構築することは可能か？
• RQ3 基本となる2次バント関数 $f_0$ のサポートをどのように変更すれば、バント性を保ちつつ代数次数を制御できるかを形式化できるか？
• RQ4 このような変更において、軌道構造とベクトルカバー関係がバント性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 提案された構成により、任意の偶数 $n = 2m \geq 2$ に対して、$n$ 変数の回転対称バント関数を生成でき、従来の $n$ に関する制限を克服した。
• 代数次数は 2 から $m$ までの任意の値をとり得る。$\deg(f) = \mathrm{wt}(\delta)$ であり、$\delta$ が追加項を制御する。
• $n \geq 10$ の場合、代数次数が 4 を超える回転対称バント関数の初めての構成である。
• バント性はウォルシュ変換と軌道に基づく分解を用い、2 を法とする二項係数のルーカスの公式に依拠して理論的に証明された。
• この構成は、$\mathrm{wt}(\delta) = 3$ のとき、[3] および [6] の立方バント関数を特別な場合として一般化する。
• $\Gamma_i^{(m)}$ を用いて、完全な次数 $m$ を持つバント関数のクラスを構成した。$f = f_0 \oplus \bigoplus_{j \succeq i} \bigoplus_{\mathrm{wt}(\alpha)=j, \alpha' * \alpha'' = 0} x^\alpha$ により、$\deg(f) = m$ を達成した。