[論文レビュー] On the theory of higher rank Euler, Kolyvagin and Stark systems, II

David Burns, Ryotaro Sakamoto+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、Gorenstein環 R 上の p-進表現に対して、高ランクエラー系と高ランクコリヴァーギン系の間の正規化された高ランクコリヴァーギン導来準同型を構成し、Mazur と Rubin の長年の予想を証明する。この構成により、高ランクエラー系がセレマー加群の R-加群構造を制御することを示し、Rubin-Stark 要素および理想類群への応用が得られる。

ABSTRACT

We prove the existence of a canonical `higher Kolyvagin derivative' homomorphism between the modules of higher rank Euler systems and higher rank Kolyvagin systems, as has been conjectured to exist by Mazur and Rubin. This homomorphism exists in the setting of $p$-adic representations that are free with respect to the action of a Gorenstein order $\mathcal{R}$ and, in particular, implies that higher rank Euler systems control the $\mathcal{R}$-module structures of Selmer modules attached to the representation. We give a first application of this theory by considering the (conjectural) Euler system of Rubin-Stark elements.

研究の動機と目的

• Mazur と Rubin が提起した、高ランクエラー系と高ランクコリヴァーギン系の間の正規化されたリンクの存在に関する予想を解決すること。
• 従来の局所環または離散付値環に制限されていたコリヴァーギン系理論を、一般の Gorenstein 環 R にまで拡張すること。
• 高ランクエラー系が、特に R 上の p-進表現に対して自由な場合に、セレマー加群の R-加群構造を制御することを確立すること。
• 理論を予想的な Rubin-Stark エラー系に適用し、理想類群および高次代数的 K-群に関する構造的情報を得ること。
• 非正規化されたランク削減技術を回避する、正規化されたファンクター的なエラー系とコリヴァーギン系の間のブリッジを提供すること。

提案手法

• 標準的な外冪の代わりに、ファンクター的に強く、より制御がきる外冪双対の概念を導入・適用し、コhomology的構成におけるより良い制御を可能にする。
• Gorenstein環 R 上で、高ランクエラー系の加群から高ランクコリヴァーギン系の加群への正規化された高ランクコリヴァーギン導来準同型を構成する。
• 修正されたセレマー構造および有限特異比較写像の理論を用いて、コhomology的データと算術的不変量との関係を関係づける。
• Chebotarev の密度定理を用いてフロベニウス元の分布を解析し、コリヴァーギン系の存在に必要な条件を検証する。
• 先行研究（例：[4]）における外冪双対に関する結果を活用し、高ランクエラー系が R 上のセレマー加群のすべての高ランクフィッティングイデアルを決定することを導く。
• Rubin-Stark 要素が、Tate–Shafarevich群および類群のフィッティングイデアルに含まれるイデアルを生成する条件を、Z_p[Gal(L/K)] 上のガロア加群の文脈で検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mazur と Rubin が予想したように、高ランクエラー系と高ランクコリヴァーギン系の加群の間には正規化された準同型が存在するか？
• RQ2 高ランクエラー系は、Gorenstein環 R 上の p-進表現に対して、セレマー加群の R-加群構造を制御できるか？
• RQ3 コリヴァーギン系理論は、主イデアルアートン局所環や離散付値環を超えて、どの程度一般化可能か？
• RQ4 ガロア加群論の文脈において、Rubin-Stark 要素は、理想類群およびTate–Shafarevich群のフィッティングイデアルとどのように関係するか？
• RQ5 正規化された導来写像を用いて、一般化されたStark要因を介して高次代数的 K-群に関する構造的結果を導出できるか？

主な発見

• 本稿は、Gorenstein環 R 上で、高ランクエラー系と高ランクコリヴァーギン系の加群の間の正規化された高ランクコリヴァーギン導来準同型を構成し、Mazur と Rubin の予想を裏付ける。
• この導来写像により、関連するセレマー加群の R 上のすべての高ランクフィッティングイデアルが高ランクエラー系によって決定され、完全な構造的制御機構が得られる。
• 予想的な Rubin-Stark エラー系に対して、理論により Rubin-Stark 要素の像が、制限付きコホモロジー群 H^1_f(S, T^*) の双対の 0 番目のフィッティングイデアルに含まれるイデアルを生成することが示される。
• 完全実体 K と適切なアーベル拡大 L/K の場合、p-進 Tate–Shafarevich群および類群の高ランクフィッティングイデアルは、ランク r の Rubin-Stark エラー系によって制御される。
• この方法は、T_χ(a) = T_χ ⊗ Z_p(a) のようなねじれ表現にも適用可能であり、一般化された Rubin-Stark 予想のもとで、一般化されたStark要因によって生成されるイデアルは、a > 0 に対して K_{2a}(O_L) のフィッティングイデアルに含まれる。
• 結果として、Leopoldt の予想に依存せず、非正規化されたランク削減を回避し、一般の Gorenstein 環上で作業する点で、Rubin や Büyükboduk の先行研究を拡張する。