[論文レビュー] On the thermal stability of a static spherically symmetric black holes in Nash embedding framework

Abraão J. S. Capistrano, Antonio C. Gutiérrez-Piñeres+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 36被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ナッシュ埋め込み定理を用いて5次元の空間に埋め込まれた静的な球対称ブラックホールの熱的安定性を調査し、外在的曲率が計量の歪みを引き起こし、修正されたブラックホール解をもたらすことを示している。主な結果は、$-1/2 \leq n \leq 1.8$ の範囲にあるブラックホールは局所的に熱的に安定しているが、グローバルには好ましくない。安定な大規模ブラックホールは、自由エネルギーがゼロ付近で相転移を示し、負の自由エネルギーは特定の温度制約下でのグローバル安定性を示唆している。

ABSTRACT

We study the deformation caused by the influence of extrinsic curvature on a vacuum spherically symmetric metric embedded in a five-dimensional bulk. In this sense, we investigate the produced black-holes and derive general characteristics such as their masses, horizons, singularities and thermal properties. As a test, we also study the bending of light near such black-holes analyzing the movement of a test particle and the modification caused by extrinsic curvature on its movement. Accordingly, using the asymptotically conformal flat condition for the extrinsic curvature, an analytical expansion of a set of \emph{n}-scalar fields can be defined and we show that the corresponding black holes must be large and constrained in the range of allowed values $-1/2 \leq n \leq 1.8$. As a result, they are locally thermodynamically stable, but not globally preferred.

研究の動機と目的

• ナッシュ埋め込み理論を用いて、5次元の空間に埋め込まれた静的な球対称ブラックホールの熱的安定性を調査すること。
• 埋め込みに起因する外在的曲率が、質量、イベントホライズン、特異点、および熱的挙動といったブラックホールの性質に与える影響を検討すること。
• スカラー場パラメータ $n$ の制約を特定し、物理的に妥当で安定したブラックホール解が得られる条件を同定すること。
• 標準的なモデル（ランダル＝サンズモデルなど）と比較して、これらの埋め込みブラックホールの安定性および熱力学的挙動を評価すること。
• 外在的曲率がアインシュタイン空間の漸近的共形平坦性を示す場合、ブラックホールの力学的挙動および光の屈曲に与える影響を検討すること。

提案手法

• 4次元の球対称真空中計量を5次元の空間に埋め込むために、ナッシュの微分可能埋め込み定理を適用する。
• ガウス＝コダージ・リッチ方程式を用いて埋め込みの整合性を保証し、誘導された4次元計量および外在的曲率の制約を導出する。
• 系を単純化し、解析的解を得るために、外在的曲率に漸近的共形平坦性の条件を課す。
• 埋め込み計量から修正された線素要素およびホライズン構造を導出し、ブラックホール周辺の測地線運動および光の屈曲を解析可能にする。
• ホライズン半径と温度領域を変化させながら、自由エネルギー、温度、エントロピーなどの熱力学的量を修正された計量から計算する。
• 自由エネルギーおよび比熱の符号と挙動を評価することで、さまざまなホライズン半径および温度領域における安定性分析を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5次元の埋め込みに起因する外在的曲率は、静的な球対称ブラックホールの熱的安定性にどのように影響を与えるか？
• RQ2 漸近的共形平坦性の条件下で、物理的に妥当で安定したブラックホール解が得られるスカラー場パラメータ $n$ の範囲は何か？
• RQ3 埋め込みフレームワークはブラックホール系に相転移を引き起こすか？ もし引き起こすならば、どのような条件下で発生するか？
• RQ4 これらの埋め込みブラックホールの熱的挙動は、標準的なシュバルツシルト解やRSモデルのブラックホールと比べてどのように異なるか？
• RQ5 外在的曲率は、ブラックホールホライズン付近の光の屈曲および測地線運動にどのような影響を与えるか？

主な発見

• パラメータ範囲 $-1/2 \leq n \leq 1.8$ のブラックホールは局所的に熱的に安定しており、ホライズン半径 $r_h \sim 0.5$ 付近で自由エネルギーがゼロに近い場所で相転移が観察される。
• 非常に小さなブラックホール（$r_h \sim 10^{-12}$）では自由エネルギーは正であり、$T=10$ で固定値に近づくため、熱的不安定性が生じ、相転移は発生しない。
• 温度が $T=0$ に近づくと、自由エネルギーはゼロで最大値に達し、$r_h \sim 10^{12}$ の大規模ブラックホールでは熱的平衡状態にあり、相転移は発生しないことが示唆される。
• ホライズン半径 $r_h \sim 10^{-2}$ のブラックホールは $T=5$ 付近で安定化し、$r_h \sim 10^{-3}$ のブラックホールは $T=10$ で安定化する。$r_h \sim 10^{-12}$ の場合、自由エネルギーは $\sim 10^{-13}$ にまで低下し、この範囲での安定性が示される。
• 大規模ブラックホールでは負の自由エネルギーが観測され、これはグローバル安定性の可能性を示唆するが、負の温度という物理的に非現実的な条件が前提となる。
• ブラックホールのエントロピーは、期待される $\pi r_h^2$ の依存性を示し、ベケンシュタイン＝ホーキングのエントロピーと整合的である。外在的曲率に起因する潮汐電荷 $\alpha_0$ の影響により、バーデイン型およびライスナー＝ノルストロム型ブラックホール解がモデルで支持される。