[論文レビュー] On the Time Dependent Gross Pitaevskii- and Hartree Equation

Peter Pickl|ArXiv.org|Aug 8, 2008

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、時間に依存する外部ポテンシャルを有するN体ボソン系の有効平均場極限として、時間に依存するグロス＝ピタエフケィスキー方程式およびハートリー方程式の厳密な導出を確立する。相互作用範囲および結合定数の適切なスケーリングのもとで、凝縮状態が非線形方程式に従って進化することを証明し、粒子密度行列の収束および時間に一様な極限を、凝縮波動関数の減衰条件のもとで示す。

ABSTRACT

We are interested in solutions $Ψ_t$ of the Schrödinger equation of $N$ interacting bosons under the influence of a time dependent external field, where the range and the coupling constant of the interaction scale with $N$ in such a way, that the interaction energy per particle stays more or less constant. Let $\mathcal{N}^{ϕ_0}$ be the particle number operator with respect to some $ϕ_0\in L^2(\mathbb{R}^3 o\mathbb{C})$. Assume that the relative particle number of the initial wave function $N^{-1}< Ψ_0,\mathcal{N}^{ϕ_0}Ψ_0>$ converges to one as $N o\infty$. We shall show that we can find a $ϕ_t\in L^2(\mathbb{R}^3 o\mathbb{C})$ such that $\lim_{N o\infty}N^{-1}< Ψ_t,\mathcal{N}^{ϕ_t}Ψ_t>=1$ and that $ϕ_t$ is -- dependent of the scaling of the range of the interaction -- solution of the Gross-Pitaevskii or Hartree equation. We shall also show that under additional decay conditions of $ϕ_t$ the limit can be taken uniform in $t

研究の動機と目的

• 時間に依存する外部ポテンシャル下での相互作用ボソン系の大規模系に対して、有効時間に依存する平均場方程式（グロス＝ピタエフケィスキー方程式またはハートリー方程式）を導出すること。
• N → ∞ において粒子あたりの相互作用エネルギーが一定となるように、相互作用ポテンシャルのスケーリング行動を分析すること。
• 初期時における凝縮状態が、後続の時刻においても凝縮状態に進化することを証明し、凝縮波動関数が非線形シュレーディンガー方程式に従うこと。
• 凝縮波動関数の減衰仮定のもとで、相対的粒子数およびk粒子密度行列の時間に一様な収束を確立すること。
• 時間に依存する外部ポテンシャルおよび初期波動関数に対するより弱い仮定（β = 1におけるハードコア相互作用を含む）を含む、以前の結果の一般化。

提案手法

• フォック空間における粒子数演算子および凝縮射影を定義するための射影子形式を用いる。
• 縮約密度行列の階層方程式を適用し、エネルギー法および交換子展開を用いて推定を導出する。
• 特に散乱長とそのNおよびβに依存するスケーリングに注目した、相互作用ポテンシャルの微視的解析を実施する。
• エネルギー推定における誤差項を制御するために、部分積分および対称性の議論を用いる。
• 凝縮波動関数を含む修正エネルギー関数を導入し、系の時間発展を追跡する。
• 真のN体状態と射影された凝縮状態との差をバインドすることで、k粒子密度行列の収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相互作用範囲および結合定数のどのスケーリングのもとで、ボソンのN体シュレーディンガー方程式が平均場方程式に収束するか？
• RQ2 有効平均場ポテンシャルは相互作用スケーリングパラメータβにどのように依存するか？また、異なる領域（β < 0、β = 0、0 < β ≤ 1、β > 1）でどのような方程式が導かれるか？
• RQ3 凝縮性質は時間経過において保持されるか？また、N → ∞ の極限で凝縮波動関数は非線形シュレーディンガー方程式に従うか？
• RQ4 相対的粒子数および密度行列の時間に一様な収束を保証する条件は何か？
• RQ5 時間に依存する外部ポテンシャルおよびハードコア相互作用への応用は、結果にどのように拡張されるか？

主な発見

• β < 0 の場合、N → ∞ の極限で相互作用が無視可能となり、凝縮波動関数は平均場ポテンシャルなしの自由シュレーディンガー方程式に従って進化する。
• β = 0 の場合、平均場ポテンシャルは Vφt = v * |φt|² として与えられ、ハートリー方程式が得られる。
• 0 < β ≤ 1 の場合、平均場ポテンシャルは |φt|² に比例し、係数はスケーリングされたポテンシャルの散乱長に依存する。この場合、グロス＝ピタエフケィスキー方程式が得られる。
• β > 1 の場合、N → ∞ において散乱長が消え、相互作用が無視可能となり、平均場ポテンシャルはゼロとなる。
• 凝縮波動関数 φt に減衰条件を課すと、相対的粒子数の1への収束は R⁺ 全体で時間に一様となる。
• N → ∞ の極限において、Ψt のk粒子密度行列が凝縮状態の対応する射影に収束することが確立された。