[論文レビュー] On the topological structure of complex tangencies to embeddings of S 3 into C 3

Ali M. Elgindi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、複素3次元空間への3次元球面の埋め込みにおける複素接線の位相的構造を調査する。ヘイゼンベルク群を分析し、S³から一点を除いたものととのびへラモーフィズムを活用することで、S³の任意の絡み目型が、ある埋め込み S³ → ℂ³ における複素接線の集合として現れることを証明し、一般の余次元2の場合におけるこのような接線集合の完全な位相的分類を確立する。

ABSTRACT

In the mid-1980's, M. Gromov used his machinery of the h- principle to prove that there exists totally real embeddings of S 3 into C 3 . Subsequently, Patrick Ahern and Walter Rudin explicitly demonstrated such a totally real embedding. In this paper, we consider the generic situation for such embeddings, namely where complex tangents arise as codimension-2 subspaces. We rst consider the Heisenberg group H and generate some interesting results therein. Then, by using the biholomorphism of H with the 3-sphere minus a point, we demonstrate that every homeomorphism-type of knot in S 3 may arise precisely as the set of complex tangents to an embedding S 3 ,! C 3 . We also make note of the (nongeneric) situation where complex tangents arise along surfaces.

研究の動機と目的

• S³をℂ³に埋め込む際の複素接線の位相的性質を理解すること。
• ヘイゼンベルク群が複素接線構造をモデル化する役割を調査すること。
• このような埋め込みにおいて、どの絡み目型が複素接線の集合として現れるかを分類すること。
• 複素接線が離散的でない2次元部分多様体に沿って集積する非一般の場合と、一般の場合（接線が余次元2部分多様体をなす）を対比すること。

提案手法

• 複素接線を研究するためのモデル空間としてヘイゼンベルク群 H を用いる。
• H と S³ から一点を除いたものの間の双正則同型を活用し、幾何的・位相的性質を移行する。
• 埋め込みされた S³ 内で複素接線が余次元2部分空間をなす一般的状況を分析する。
• グロモフのh原理の道具と、アヘンとラジンの完全に実の埋め込みに関する結果を適用する。
• 任意に指定された絡み目型を複素接線集合として実現するような、S³ を ℂ³ に埋め込む具体的な構成を行う。
• 複素接線が2次元部分多様体に沿って集積する非一般の場合を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの絡み目型が、埋め込み S³ → ℂ³ における複素接線の集合として現れるか？
• RQ2 ヘイゼンベルク群の幾何は、所望の接線構造を持つ埋め込みの構成をどのように支援するか？
• RQ3 S³ を ℂ³ に一般に埋め込む場合、複素接線集合にどのような位相的制約があるか？
• RQ4 複素接線が離散的でない2次元部分多様体をなす非一般の場合では、結果がどのように一般の場合と異なるか？
• RQ5 双正則変換によってヘイゼンベルク群から移行することで、任意の絡み目型を複素接線集合として実現可能か？

主な発見

• S³ 内の任意の絡み目型の位相的型が、ある埋め込み S³ → ℂ³ における複素接線集合として実現可能である。
• ヘイゼンベルク群は、このような埋め込みの構成とその接線集合の解析のための自然な幾何的枠組みを提供する。
• 一般に、複素接線集合は余次元2部分多様体であり、その位相は任意の絡み目型を取り得る。
• ヘイゼンベルク群と S³ から一点を除いたものの間の双正則同型により、群から3次元球面への位相的データの移行が可能である。
• 非一般の場合には、複素接線が2次元面に沿って現れる可能性があり、これは一般の余次元2の状況とは対照的である。
• 本研究の結果により、S³ を ℂ³ に一般に埋め込む場合の複素接線集合の位相的分類が完全に達成された。