[論文レビュー] On the topology of rational functions in two complex variables

Thang Nguyen|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2012

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、オイラー特性、マルグラング条件、M-たどりやすさを用いて、2つの複素変数における有理関数の無限大における臨界値を特徴づける。deg(f) > deg(g) である有理関数に対して、分岐集合には無限大における臨界値、分子・分母の臨界値、および追加の集合 K₁(F) が含まれ、これらの値を特徴づけるためにマルグラング条件と M-たどりやすさの条件が同値であることを示している。

ABSTRACT

We give some characterizations for the critical values at infinity of a rational function in two complex variables in terms of the Euler characteristic, the Malgrange condition and the M-tameness

研究の動機と目的

• 2つの複素変数における有理関数 $ F = f/g $ の無限大における臨界値の集合 $ B_{\nu}(F) $ を特徴づけること。
• 従来、多項式関数にのみ成り立つとされていた無限大における臨界値の特徴づけを、より広い有理関数のクラスへと拡張すること。
• マルグラング条件、M-たどりやすさ、およびオイラー特性が $ B_{\nu}(F) $ を決定する際の関係を調査すること。
• フェドリューキ条件が $ B_{\nu}(F) $ を特徴づけるのに不十分であることを示し、$ \widetilde{K}_{\nu}(F) \not\subset B_{\nu}(F) $ となる反例を提示すること。

提案手法

• 基点集合 $ A(F) $ の点における $ f - t_0 g $ のミルナー数が微小摂動で変化する値 $ t_0 $ の集合として $ K_1(F) $ を定義する。
• グローバルミルナー葉層とファイバー $ F^{-1}(t) $ の位相を用いて、無限大における挙動を分析する。
• 無限大への収束 $ (x_k, y_k) \to \infty $ かつ $ F(x_k) \to t_0 $、$ \|\mathrm{grad}F(x_k)\| \to 0 $ を満たす列に対して、曲線選択補題を適用し、これとマルグラング条件を結びつける。
• もし $ F $ が $ t_0 $ でマルグラング条件を満たすならば、$ t_0 $ で M-たどりやすさであることを証明し、これらの条件の間の階層関係を確立する。
• $ F^{-1}(D_\delta(t_0)) \setminus B_R $ 上に、$ \langle v, x \rangle = 0 $ かつ $ \langle v, \mathrm{grad}F \rangle = 1 $ を満たす滑らかなベクトル場 $ v $ を構成し、葉層の自明化を保証する。
• $ G(x,y,z,t) = z^{d_t} f(x/z, y/z) - t z^{d_t} g(x/z, y/z) $ を用いてファイバーの射影的コンactificationを行い、無限大における特異点を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの複素変数における有理関数 $ F = f/g $ の無限大における臨界値 $ B_{\infty}(F) $ は、古典的な多項式の場合を越えて、どのように特徴づけられるか？
• RQ2 有理関数において、ファイバー $ F^{-1}(t) $ のオイラー特性が、$ t_0 \in B_{\infty}(F) $ であるかどうかを決定する上で果たす役割は何か？
• RQ3 マルグラング条件と M-たどりやすさが、有理関数においてどの程度一致するか、そして $ B_{\infty}(F) $ とどのように関係するか？
• RQ4 フェドリューキ条件 $ t \notin \widetilde{K}_{\infty}(F) $ を用いて $ B_{\infty}(F) $ を特徴づけることができるか、それとも反例が存在するか？
• RQ5 集合 $ K_1(F) $ の意味は何か、また $ \deg f > \deg g $ の場合に、$ B(F) $ の完全な分岐集合への寄与は何か？

主な発見

• 有理関数 $ F = f/g $ で $ \deg f > \deg g $ の場合、全分岐集合は $ B(F) = B_{\infty}(F) \cup K_0(F) \cup K_1(F) $ である。ここで $ K_1(F) $ は基点におけるミルナー数の変化を捉える。
• ファイバー $ F^{-1}(t) $ のオイラー特性が $ t_0 $ の近傍で定数でないことは、かつはかつ、$ t_0 \in B_{\infty}(F) $ であることに同値であり、これは多項式関数に対する結果を一般化する。
• マルグラング条件は M-たどりやすさを含む：$ t_0 \notin K_{\infty}(F) $ ならば $ t_0 \notin M_{\infty}(F) $ である。これにより、これらの条件の間の階層関係が確立される。
• $ t_0 \notin K_0(F) \cup K_1(F) $ の場合、$ t_0 \in B_{\infty}(F) $、$ t_0 \in K_{\infty}(F) $、$ t_0 \in M_{\infty}(F) $ の3条件は同値である。
• $ t_0 \in \widetilde{K}_{\infty}(F) $ であるが $ t_0 \notin B_{\infty}(F) $ である反例を構成し、フェドリューキ条件が $ B_{\infty}(F) $ を特徴づけるのに十分でないことを示している。
• 条件の同値性は $ \deg f < \deg g $ で $ t_0 \neq 0 $ の場合にも同様に成り立ち、$ B_{\infty}(F) $ に対して同じ関係が成立する。