[論文レビュー] On the tractable counting of theory models and its application to belief revision and truth maintenance

Adnan Darwiche|ArXiv.org|Mar 9, 2000

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、順序付き二分決定図（OBDD）を決定的分解可能否定正規形（d-DNNF）に変換する線形時間アルゴリズムを導入し、リテラルの仮定、削除、反転に対する効率的なモデル数え上げを可能にする。主な貢献は、d-DNNFの二回の走査によって定数時間の含意および整合性チェックを可能にし、有界な木幅または小さなOBDD表現を持つ命題理論における線形時間完全な真理維持および信念修正システムを実現することである。

ABSTRACT

We introduced decomposable negation normal form (DNNF) recently as a tractable form of propositional theories, and provided a number of powerful logical operations that can be performed on it in polynomial time. We also presented an algorithm for compiling any conjunctive normal form (CNF) into DNNF and provided a structure-based guarantee on its space and time complexity. We present in this paper a linear-time algorithm for converting an ordered binary decision diagram (OBDD) representation of a propositional theory into an equivalent DNNF, showing that DNNFs scale as well as OBDDs. We also identify a subclass of DNNF which we call deterministic DNNF, d-DNNF, and show that the previous complexity guarantees on compiling DNNF continue to hold for this stricter subclass, which has stronger properties. In particular, we present a new operation on d-DNNF which allows us to count its models under the assertion, retraction and flipping of every literal by traversing the d-DNNF twice. That is, after such traversal, we can test in constant-time: the entailment of any literal by the d-DNNF, and the consistency of the d-DNNF under the retraction or flipping of any literal. We demonstrate the significance of these new operations by showing how they allow us to implement linear-time, complete truth maintenance systems and linear-time, complete belief revision systems for two important classes of propositional theories.

研究の動機と目的

• 効率的な論理的推論を可能にするスケーラブルで扱いやすい命題理論の表現を構築すること。
• DNNFに新しいモデル数え上げ操作を拡張することで、線形時間の信念修正と真理維持を実現すること。
• d-DNNFがDNNFの複雑さの保証を保持するとともに、より強い構造的性質を備えていることを示すこと。
• 新しい操作をモデルベース診断に適用し、最小故障仮定の下で故障した装置の挙動を予測できること。
• OBDDおよび有界木幅のCNFが線形時間でd-DNNFにコンパイル可能であることを確立すること。

提案手法

• 命題理論のOBDD表現を、線形時間アルゴリズムを用いて同等のd-DNNFに変換する。
• d-DNNFをDNNFの部分クラスとして定義し、分解可能性と決定性を満たす。これにより、論理積の間で変数を共有せず、論理和の項が互いに排他的となるように保証する。
• d-DNNFのノードに基数（cardinality）を割り当てる：非Σリテラルは0、負のΣリテラルは1、論理和は最小値、論理積は合計値とする。
• 親ノードの基数より大きい子ノードへのエッジを削除することで、d-DNNFを最小化する。
• 部分導関数を用いた計数グラフを構築し、二回の走査によってリテラル操作下でのモデル数を計算する。
• 部分導関数と定理6を用いて、事前処理後、任意のリテラルの仮定、削除、反転操作下でのモデル数を定数時間で計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 OBDD表現が線形時間でd-DNNFにコンパイル可能であり、スケーラビリティを保っているか？
• RQ2 d-DNNFを用いて、リテラルの仮定、削除、反転操作下でのモデル数え上げを線形時間で行えるか？
• RQ3 得られた操作を用いて、完全で線形時間の真理維持および信念修正システムを実装できるか？
• RQ4 モデル数え上げ機構は、最小故障仮定の下で故障した装置の挙動を予測できるか？
• RQ5 DNNFの複雑さの保証が、より厳しいd-DNNFの部分クラスにも拡張可能か？

主な発見

• 任意のOBDDを同等のd-DNNFに変換する線形時間アルゴリズムが開発され、d-DNNFがOBDDと同程度にスケーラブルであることが示された。
• d-DNNFにおけるモデル数え上げ操作は、二回の走査で十分であり、事前処理後、定数時間の含意および整合性チェックが可能である。
• 本手法により、有界な木幅または小さなOBDDを持つ命題理論に対して、線形時間完全な真理維持および信念修正システムが実現可能である。
• 本アプローチにより、装置記述のサイズに比例する線形時間で、最小故障仮定の下でのモデルベース診断における装置挙動の効率的予測が可能である。
• d-DNNFの基数最小化により、例ではモデル数を8つから4つに削減でき、正しさを保持しつつ効率的な推論を可能にした。
• 計数グラフ上で計算された部分導関数により、リテラル操作下での正確なモデル数が得られ、例として観測S=¬A下で¬AをAに反転した場合に3つのモデルが得られた。