[論文レビュー] On the Transitivity of Invariant Manifolds of Conservative Flows

Fábio Castro, Fernando A. Oliveira|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、次元が3以上のコンパクト多様体上の $ C^r $ 体積保存型流れに対して、双曲的臨界的要素（周期軌道または特異点）に関連する不変多様体の閉包が、一般にチェーン転送的であることを確立する。証明は、不変多様体における稠密な再帰性を保証するための局所的摂動の構成に依拠しており、体積保存型系のための新規なフローボックス定理と、過去の軌道を変更せずに未来の軌道を変更できる新規な局所的摂動技術を活用している。

ABSTRACT

The main result of this work is the following: for volume preserving flows on compact manifolds with the $C^r$ topology, $1 \leqq r \leqq \infty$ , the closure of every invariant manifold of periodic orbits and singularities is a chain transitive set. We also develop to new local constructions, which surprise by the simplicity of the arguments. One, a local perturbation to change an orbit to a nearby without altering its past. The other is a flow box theorem in the context of volume preserving flows, a result that is well known for Hamiltonians or general flows.

研究の動機と目的

• 体積保存型流れにおける双曲的臨界的要素の不変多様体の閉包が、一般に $ C^r $ 条件のもとでチェーン転送的であることを確立すること。
• 周期軌道が保存的系において稠密であるかどうかという長年の未解決問題に、より弱くながら証明可能であるチェーン転送性という概念に焦点を当てて対処すること。
• 過去の軌道を変更せずに未来の軌道を変更できる新しい局所的摂動技術を開発し、不変多様体における再帰性を制御可能にする。
• 古典的なフローボックス定理を体積保存型流れの文脈に拡張すること。これは、もともとハミルトニアン系や一般の流れに対してのみ知られていた結果である。
• 残渣的集合 $ \mathcal{X}^r_\omega(M) $ の中で、不変多様体の閉包が再帰的軌道の稠密な集合を含み、チェーン転送性を示すことを示すこと。

提案手法

• 過去の軌道を変更せずに点の未来の軌道を変更できる新しい局所的摂動技術を導入し、流れの体積保存性を保持する。
• 体積保存型フローボックス定理を構築し、双曲的臨界的要素の近傍における体積保存型ベクトル場の局所的標準形を提供する。これは、一般の流れに対する古典的結果と類似している。
• $ (\epsilon,t) $-鎖を用いてチェーン転送性を定義し、集合内の任意の2点が小さなジャンプと大きな時間ステップを持つ有限個の流れセグメントで接続可能であることを保証する。
• $ C^r $ 位相においてバーレーのカテゴリー定理を適用し、不変多様体の閉包がチェーン転送的であるようなベクトル場の集合が残渣的であることを示す。
• コンパクトな距離空間に $ \omega $-再帰的点の稠密な集合があるならば、それはチェーン転送的であるという事実を活用し、摂動によってこのような再帰性を一般に構成する。
• 安定多様体および不安定多様体の基本的領域における帰納的摂動の議論を用い、戻り軌道が以前の戻り弧と交差しないように、小さな球内での戻り軌道を制御可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト多様体上の一般の体積保存型流れに対して、双曲的臨界的要素の不変多様体の閉包は、一般にチェーン転送的か？
• RQ2 過去の軌道を変更せずに未来の軌道を変更できるような局所的摂動技術を構築できるか、かつ体積保存性を保持できるか？
• RQ3 ハミルトニアン系や一般の流れに対する古典的結果と類似する、体積保存型流れにおけるフローボックス定理は存在するか？
• RQ4 一般の $ C^r $ 体積保存型流れにおいて、不変多様体の閉包が再帰的軌道の稠密な集合を含むか？
• RQ5 アトラクターやレプルラが閉包に現れる可能性があるとしても、不変多様体の閉包のチェーン転送性は保存的系において一般に成り立つか？

主な発見

• 残渣的集合 $ \mathcal{R} \subset \mathcal{X}^r_\omega(M) $ に対して、双曲的臨界的要素（周期軌道または特異点）の不変多様体の閉包は、すべてチェーン転送的集合である。
• 非一般の場合には、不変多様体の閉包にアトラクターまたはレプルラーが含まれる可能性があるが、一般にはそのような構造は存在しない。
• 過去の軌道を変更せずに未来の軌道を変更できる新しい局所的摂動法を用いることで、体積を保持し、再帰性の制御を可能にする。
• 体積保存型フローボックス定理を確立し、双曲的臨界的要素の近傍における体積保存型ベクトル場の局所的標準形を提供する。
• $ \omega $-再帰的点の稠密な集合が不変多様体の閉包に存在することは、チェーン転送性を示し、この性質が摂動技術によって一般に示される。
• 結果はすべての $ r \in [1, \infty] $ に対して成り立ち、$ C^\infty $ の場合については $ C^r $ 位相の帰納的極限位相で取り扱う。