[論文レビュー] On the tree-width of even-hole-free graphs

Pierre Aboulker, Isolde Adler+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、任意の固定されたグラフをマイナーとして含まない偶数穴自由グラフは有界な木幅を持つことを証明し、このようなグラフに対するグリッドに類似した構造定理を確立する。マイナー閉性の性質と構造的分解を活用することで、固定されたマイナーの欠如が木幅の有界性を強制することを示し、平面的偶数穴自由グラフに対する既知の結果を一般化するとともに、有界次数の偶数穴自由グラフに関する予想を支持する。

ABSTRACT

The class of all even-hole-free graphs has unbounded tree-width, as it contains all complete graphs. Recently, a class of (even-hole, $K_4$)-free graphs was constructed, that still has unbounded tree-width [Sintiari and Trotignon, 2019]. The class has unbounded degree and contains arbitrarily large clique-minors. We ask whether this is necessary. We prove that for every graph $G$, if $G$ excludes a fixed graph $H$ as a minor, then $G$ either has small tree-width, or $G$ contains a large wall or the line graph of a large wall as induced subgraph. This can be seen as a strengthening of Robertson and Seymour's excluded grid theorem for the case of minor-free graphs. Our theorem implies that every class of even-hole-free graphs excluding a fixed graph as a minor has bounded tree-width. In fact, our theorem applies to a more general class: (theta, prism)-free graphs. This implies the known result that planar even hole-free graph have bounded tree-width [da Silva and Linhares Sales, Discrete Applied Mathematics 2010]. We conjecture that even-hole-free graphs of bounded degree have bounded tree-width. If true, this would mean that even-hole-freeness is testable in the bounded-degree graph model of property testing. We prove the conjecture for subcubic graphs and we give a bound on the tree-width of the class of (even hole, pyramid)-free graphs of degree at most 4.

研究の動機と目的

• 性質テストにおける重要な未解決問題である、有界次数の偶数穴自由グラフが有界な木幅を持つかどうかを解明すること。
• （偶数穴、K₄）-自由グラフにおける木幅の無限大は、高次の頂点に起因するのか、それとも大きなクリークマイナーに起因するのかを特定すること。
• マイナー制約と次数制約の下での偶数穴自由グラフに対する構造定理を確立すること。
• マイナー自由グラフに対する除外グリッド定理を一般化し、木幅と壁または壁の線グラフを誘導部分グラフとして持つこととを結びつけること。
• 最大次数 ≤4 の（偶数穴、ピラミッド）-自由グラフが有界な木幅を持つことを証明すること。

提案手法

• H-マイナー自由グラフに対するロバートソン＝セイヤーモアのグリッド定理の強化を証明し、このようなグラフが小さい木幅を持つか、あるいは大きな壁または壁の線グラフを誘導部分グラフとして含むことを示す。
• グラフのサイズに関する帰納法と最小性の議論を用いて、ピラミッド、シータ、プリズム、K₆マイナーなどの誘導部分グラフを除外する。
• 「基本的」グラフを定義し、完全グラフ、サイクル、または破線の辺をパスに置き換えたり、それらを収縮させたりして得られるパターンを分析する。
• 最大次数4のグラフに対して2-ジョイン分解を適用し、クリーク分離子と構造的制約を用いて木幅を制限する。
• 定理1.1の関数fH(k)を用いて、マイナー除外と壁のサイズに基づき木幅を有界化する。
• 長さの長い誘導サイクルを含む有界次数のグラフに関する既知の結果を活用し、木幅の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたマイナーを除外する偶数穴自由グラフにおいて、マイナーの除外が有界な木幅を強制するか？
• RQ2 （偶数穴、K₄）-自由グラフにおける木幅の無限大は、高次の頂点に起因するのか、それとも大きなクリークマイナーに起因するのか？
• RQ3 有界最大次数の偶数穴自由グラフは有界な木幅を持つのか？
• RQ4 パターン、クリーク分離子、2-ジョインを用いて、最大次数4の偶数穴自由グラフに対する構造定理を構築できるか？
• RQ5 2-ジョイン分解を、より高い次数の偶数穴自由グラフに対しても拡張可能か？

主な発見

• 任意の固定されたグラフHをマイナーとして含まない偶数穴自由グラフは有界な木幅を持つ。これは予想1の確認である。
• 最大次数が4以下の（偶数穴、ピラミッド）-自由グラフのクラスは、木幅がfK₆(3)未満である。これは明確な有界値を示している。
• 証明により、H-マイナー自由な偶数穴自由グラフは、小さい木幅を持つか、あるいは大きな壁または壁の線グラフを誘導部分グラフとして含む。
• この結果はより一般的な（シータ、プリズム）-自由グラフのクラスにも拡張され、マイナー除外の下で有界な木幅が保証される。
• 著者らは、有界次数の偶数穴自由グラフが有界な木幅を持つと予想し、サブキューブグラフの場合にそれを証明した。
• パターン、基本的グラフ、2-ジョイン分解を用いた、最大次数4の偶数穴自由グラフの構造定理が提案された。