[論文レビュー] On the twistor space of a (co-)CR quaternionic manifold

Radu Pantilie|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、(co-)CR四元数多様体のツイスター空間を変形論的特徴づけする。複素多様体がツイスター空間であるための必要十分条件は、正の正規束を持つ有理曲線の局所的完全族を備え、かつ第一コホモロジー次元が一定であることである。主たる貢献は、複素多様体とその共役、埋め込まれた球面との幾何的対応関係を、co-CR四元数構造に結びつけることである。この対応関係により、次元削減およびツイスター再写像を用いて新しい例が構成可能となる。

ABSTRACT

We characterise, in the setting of the Kodaira-Spencer deformation theory, the twistor spaces of (co-)CR quaternionic manifolds. As an application, we prove that, locally, the leaf space of any nowhere zero quaternionic vector field on a quaternionic manifold is endowed with a natural co-CR quaternionic structure. Also, for any positive integers $k$ and $l$, with $kl$ even, we obtain the geometric objects whose twistorial counterparts are complex manifolds endowed with a conjugation without fixed points and which preserves an embedded Riemann sphere whose normal bundle is $l$ times the line bundle of Chern number $k$. We apply these results to prove the existence of natural classes of co-CR quaternionic manifolds.

研究の動機と目的

• Kodaira–Spencerの変形論を用いて、ツイスター空間を正規束およびツイスター直線のコホモロジーに関する条件で特徴づけること。
• 複素多様体に共役と埋め込み球面が存在する場合とco-CR四元数構造との間の対応関係を確立すること。
• 任意の零でない四元数ベクトル場が四元数多様体上に定義されるとき、その葉空間が局的に自然なco-CR四元数構造を誘導することを証明すること。
• 正規束が指定されたものと一致する埋め込み球面を保存する共役を持つ複素多様体のツイスター的双対対象である幾何的対象を構成すること。

提案手法

• Kodaira–Spencerの変形論を用いて、正規束およびコホモロジーの条件によりツイスター空間を特徴づける。
• 複素多様体がツイスター空間であるための必要十分条件を同定する：接続完全列が分解し、正規束のh^1次元が一定であること。
• 理論を応用し、四元数多様体上に零でない四元数ベクトル場が与えられたとき、その葉空間が自然なco-CR四元数構造を有することを示す。
• 有理被覆面と指定された正規束を持つ全純切断を用いて、共役に関して不変な球面を保存する例を構成する。
• ツイスター再写像を用いて、四元数多様体内の一般部分多様体とco-CR構造との関係を、ツイスターデータの引き戻しによって関係づける。
• グレアマニアンおよびジャンクティル空間のツイスター空間を明示的に構成し、対応関係におけるすべての可能な(k,l)ペアを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で複素多様体がco-CR四元数多様体のツイスター空間であるか？
• RQ2 四元数多様体上に零でない四元数ベクトル場が与えられたとき、その葉空間にどのようにしてco-CR四元数構造を導入できるか？
• RQ3 共役と埋め込み球面を持つ複素多様体とco-CR四元数構造との間の幾何的対応関係は何か？
• RQ4 整数kとlについて、正規束がl𝒪(k)である球面を保存する共役を持つ複素多様体が存在する条件は何か？
• RQ5 ツイスター再写像と全純切断は、co-CR四元数多様体の構成にどのように関係するか？

主な発見

• 複素多様体Zがco-CR四元数多様体のツイスター空間であるための必要十分条件は、Zが有理曲線の局所的完全族を持ち、その正規束が正で、接続完全列が分解し、かつ各曲線tに対してTt ⊗ N*のh^1次元が一定であることである。
• 局的に、四元数多様体上に零でない四元数ベクトル場が与えられたとき、その葉空間は自然にco-CR四元数構造を誘導する。
• 正の整数k, lでklが偶数である限り、共役に関して不変な正規束がl𝒪(k)である球面を持つ複素多様体と、四つ組(M,N,x,φ)との間に幾何的対応関係が存在する。ここでNは四元数的であり、Mはタイプ(k,l)の一般部分多様体であり、φはツイスター的再写像である。
• R^{n+3}における3次元部分空間のグレアマニアンのツイスター空間はCP^{n+2}内のハイパーパラメトリック曲面であり、ツイスター直線上の正規束はn𝒪(2)である。これは対応関係の明確な例を提供する。
• すべてのklが偶数であるk, lについて、CP^1から自身への写像のジャンクティル空間および有理被覆面S_nを用いてツイスター空間を構成し、co-CR四元数構造を実現する。
• この構成により、例4.4および4.5のツイスター空間の直積として得られるハイパーコ-CR四元数多様体が得られ、すべての許容可能な(k,l)ペアをカバーする。