[論文レビュー] On the Two-Dimensional Knapsack Problem for Convex Polygons

Arturo Merino, Andreas Wiese|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Optimization and Packing Problems被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の角度で回転可能な凸多角形を許容する2次元幾何学的ナップサック問題に対する、初めての多項式時間O(1)-近似アルゴリズムを提示する。一般の凸多角形に対しては準多項式時間O(1)-近似を達成し、三角形に対しては多項式時間O(1)-近似を実現する。新規のグループ化戦略と、リソース拡張を伴うバランスの取れた安価なカットを用いた再帰的分割フレームワークを用いる。

ABSTRACT

We study the two-dimensional geometric knapsack problem for convex polygons. Given a set of weighted convex polygons and a square knapsack, the goal is to select the most profitable subset of the given polygons that fits non-overlappingly into the knapsack. We allow to rotate the polygons by arbitrary angles. We present a quasi-polynomial time $O(1)$-approximation algorithm for the general case and a polynomial time $O(1)$-approximation algorithm if all input polygons are triangles, both assuming polynomially bounded integral input data. Also, we give a quasi-polynomial time algorithm that computes a solution of optimal weight under resource augmentation, i.e., we allow to increase the size of the knapsack by a factor of $1+δ$ for some $δ>0$ but compare ourselves with the optimal solution for the original knapsack. To the best of our knowledge, these are the first results for two-dimensional geometric knapsack in which the input objects are more general than axis-parallel rectangles or circles and in which the input polygons can be rotated by arbitrary angles.

研究の動機と目的

• 軸に平行な長方形や円以外の非長方形・非円形形状を任意の角度で回転可能とする2次元ナップサック問題に対する近似アルゴリズムの欠如に応える。
• 軸に平行な長方形や円の一般化としての凸多角形に対する効率的な近似アルゴリズムを設計する。
• 最適解の構造的性質を同定し、配置を制限することで、任意角度回転の課題を克服する。
• 一般の凸多角形に対してリソース拡張のもとで定数近似を達成するとともに、三角形の特殊ケースに対しては多項式時間近似を実現する。
• バウンディングボックスのグループ化、面積ベースの解析、バランスの取れた安価なカットを用いた再帰的分割を統合するフレームワークを提供する。

提案手法

• 入力多角形を3種類に分類する：容易（回転なしでバウンディングボックスが収まる）、中程度（45°回転後に収まる）、困難（回転後でさえ収まらない）。
• Steinbergのアルゴリズムと面積の議論を用いて、容易な多角形に対して非重複バウンディングボックスの配置によりO(1)-近似を達成する。
• 中程度の多角形については、バウンディングボックス幅でグループ化し、一般化された1次元ナップサック解を用いてスタックされたコンテナに回転済みバウンディングボックスを配置する。
• 中程度の多角形の解がO(1)-近似可能であることを示すために、その面積占有率と配置密度が定数要因で有界であることを証明する。
• 困難な多角形については、最適解に高々O(log N)個のそれらが存在することを構造的洞察として活用し、準多項式時間の推測を可能にする。
• 多角形の頂点と垂直線から導かれる有限個の候補頂点に基づく、バランスの取れた安価なカットを定義する再帰的分割アプローチを用い、各ステップで問題サイズを縮小する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の角度回転を許容する2次元ナップサック問題に対して、定数近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 最適解の構造的性質は、困難な多角形の数を制限し、その配置を制限するためにどのように寄与するか？
• RQ3 すべての角度を列挙することなく、任意の角度回転下での困難な多角形の妥当な配置を効率的に推測する方法は何か？
• RQ4 すべての入力多角形が三角形である特殊ケースに対して、多項式時間近似を達成できるか？
• RQ5 リソース拡張によって、一般の凸多角形に対してどの程度まで定数近似を達成できるか？

主な発見

• 本稿では、任意の回転を許容する一般の凸多角形に対して、準多項式時間O(1)-近似アルゴリズムを提示し、実行時間は(nN)^(log nN)^O(1)である。
• 三角形の特殊ケースに対しては、多項式時間O(1)-近似アルゴリズムを達成し、この部分クラスにおける効率性が向上する。
• 任意の最適解において、回転後でさえバウンディングボックスが収まらない「困難な多角形」の数はO(log N)で有界であり、これにより準多項式時間の推測が可能になる。
• バランスの取れた安価なカットを用いた新規の再帰的分割フレームワークにより、リソース拡張のもとで、最適解の総面積の(1 - O(δ))以上を回復する解が得られる。
• (1 + δ)-リソース拡張のもとで、アルゴリズムは時間n(log(n)/δ)^O(1)で、重さがOPT以上である解を計算し、定数近似を達成する。
• 主な技術的洞察は、非常に幅広いバウンディングボックスを持つ中程度の多角形が、ナップサックの対角付近の小さな六角形領域に限定されることであり、これにより有界な面積解析が可能になる。