[論文レビュー] On the two-phase Navier-Stokes equations with surface tension

Jan Pruess, Gieri Simonett|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2009

Navier-Stokes equation solutions参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、初期界面が半平面の小さな摂動である場合、表面張力付き2相不圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して局所的well-posednessおよび即時解析性を確立する。線形化問題におけるLp-最大正則性理論を用いて、初期データが臨界ソボレフ空間にある場合ですら、解が初期時刻直後から空間および時間に関して即座に実解析的になることを証明する。

ABSTRACT

The two-phase free boundary problem for the Navier-Stokes system is considered in a situation where the initial interface is close to a halfplane. By means of $L_p$-maximal regularity of the underlying linear problem we show local well-posedness of the problem, and prove that the solution, in particular the interface, becomes instantaneously real analytic.

研究の動機と目的

• 初期界面が半平面に近い場合の、表面張力付き2相不圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の局所的well-posednessを確立すること。
• 解（自由境界を含む）が、空間および時間に関して即座に実解析的になることを証明すること。
• 最小限の初期正則性仮定のもとで、速度、圧力、界面の正則性を分析すること。
• 非線形自由境界問題を臨界関数空間枠組みで取り扱うために、最大正則性理論を用いること。
• パラメータ依存非線形系に陰関数定理を適用することで、解クラスが解析性を保つことを検証すること。

提案手法

• 界面をまたいでジャンプ条件を満たす非線形自由境界問題として、表面張力付き2相ナビエ＝ストークス系を定式化する。
• 平坦な界面の周りで系を線形化し、得られた線形問題にLp-最大正則性理論を適用する。
• 座標変換を用いて初期界面を平坦化し、固定領域設定に変換する。
• Banach空間枠組みにおける陰関数定理を用いて、初期データの近傍で非線形問題を解く。
• 陰関数定理の枠組みにおけるパラメータに関する解析的依存性を用いて、解の解析性を確立する。
• 解作用素の解析性および非線形項の構造を活用し、解が空間時間に関して実解析的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面張力付き2相ナビエ＝ストークス系は、どのような条件下で一意な局所解をもつのか？
• RQ2 初期データが臨界ソボレフ空間にある場合でも、解が空間および時間に関して即座に実解析的になるか？
• RQ3 表面張力は自由境界問題の正則性およびwell-posednessにどのように影響するか？
• RQ4 自由境界問題から生じるパラメータ依存非線形系に対して、陰関数定理を効果的に適用できるか？
• RQ5 Lp-最大正則性は、非線形2相流体系の存在および正則性を証明する上で果たす役割は何か？

主な発見

• $ p > n+3 $ に対して、$ W^{2-2/p}_p(\bar{\Omega}_0; \mathbb{R}^{n+1}) \times W^{3-2/p}_p(\mathbb{R}^n) $ 内の小さな初期データに対して、$ (0, t_0) $ 上に一意な古典解が存在する。
• 解 $ (u, q, \Gamma) $ は、$ \mathcal{O} = \bigcup_{t \in (0,t_0)} \{t\} \times \Gamma(t) $ 上で空間および時間に関して実解析的であり、$ \Gamma(t) $ は $ \mathbb{R}^n $ 上のグラフである。
• 界面 $ \Gamma(t) $ は関数 $ h(t) $ で与えられ、解 $ (u, q) $ は $ \mathcal{O} \subset \mathbb{R}^{n+2} $ 上で実解析的である。
• 各 $ t \in (0,t_0) $ に対して、圧力 $ q $ は $ \dot{H}^1_p(\Omega(t)) \subset UC(\Omega(t)) $ に属し、連続性が保証される。
• 解は、界面をはさんで応力ジャンプと速度の連続性を満たす適合条件を満たす。
• パラメータ依存非線形系に陰関数定理を適用することで解析性が達成され、パラメータに関する解析的依存性が確立されている。