[論文レビュー] On the Ulam-Hyers-Rassias stability for nonlinear fractional differential equations using the $\psi$-Hilfer operator

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2017

Functional Equations Stability Results参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$ψ$-Hilfer分数階微分を含む非線形Cauchy問題の解の存在、一意性、およびUlam-Hyers-Rassias安定性の存在を調査する。固定点定理と比較原理を用いて、一般の分数階作用素に対して安定性の十分条件を確立し、古典的な安定性概念をより広い非線形分数階微分方程式のクラスへと拡張する。

ABSTRACT

We study the existence and uniqueness of solution of a nonlinear Cauchy problem involving the $\psi$-Hilfer fractional derivative. In addition, we discuss the Ulam-Hyers and Ulam-Hyers-Rassias stabilities of its solutions. A few examples are presented in order to illustrate the possible applications of our main results.

研究の動機と目的

• 非線形Cauchy問題における$ψ$-Hilfer分数階微分を含む解の存在と一意性を確立すること。
• 古典的なUlam-HyersおよびUlam-Hyers-Rassias安定性概念を$ψ$-Hilfer作用素によって支配される分数階微分方程式へと拡張すること。
• 変数順序の挙動を示す広範な非線形分数階モデルに適用可能な理論的枠組みを提供すること。
• 具体的な$ψ$-関数を用いた例を通じて、結果の適用可能性を示すこと。

提案手法

• 解の存在と一意性を証明するために、特にBanachおよびKrasnoselskiiの定理を用いた固定点定理の応用。
• Riemann-LiouvilleおよびCaputo微分の一般化としての$ψ$-Hilfer分数階微分を用いて、複雑な記憶効果をモデル化する。
• 摂動に対する安定性推定を導くために、比較原理と積分不等式を適用する。
• 分数階動力学の文脈においてUlam-Hyers-Rassias安定性を分析するための一般化されたリャプノフ型関数を導入する。
• 対象となる$ψ$-関数（例：対数関数的または累乗型）を明示的に構築し、理論的発見の妥当性を検証する具体例を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形Cauchy問題が$ψ$-Hilfer微分を含む場合、どのような条件下で一意な解が存在するか？
• RQ2 Ulam-Hyers安定性は、$ψ$-Hilfer作用素によって支配される分数階微分方程式へとどのように拡張可能か？
• RQ3 任意の$ψ$-関数を伴う非線形分数階システムにおいて、Ulam-Hyers-Rassias安定性の十分条件は何か？
• RQ4 $ψ$-Hilfer作用素は、非特異的かつ非局所的記憶を示す現実世界現象のモデル化をどのように向上させるか？

主な発見

• 固定点理論を用いて、弱いリプシッツ条件および成長条件のもとで解の存在と一意性が確立された。
• 積分推定と比較技術を用いて、非線形分数階Cauchy問題におけるUlam-Hyers安定性が証明された。
• 摂動を制御する関数を導入することで、Ulam-Hyers-Rassias安定性が達成され、古典的な安定性概念が一般化された。
• 具体的な$ψ$-関数を用いた明示的例を通じて、理論的枠組みの妥当性が検証された。