[論文レビュー] On the Ulam Type Stability of Nonlinear Volterra Integral Equations

Süleyman Öğrekçi, Yasemin Başçı+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2021

Functional Equations Stability Results被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、固定点の別法を用いて、非線形ボルテラ積分方程式に対する改良されたハイヤー＝ウラムおよびハイヤー＝ウラム＝ラシア安定性結果を確立する。一般化された距離関数と指数的重み関数を導入することで、KL < 1 や ∫ϕ(s)ds ≤ Kϕ(t) といった制限的条件の必要性を排除し、Lipschitz定数 L > 1 の場合を含むより広い方程式のクラスへ、従来の安定性定理を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we examine the Hyers-Ulam and Hyers-Ulam-Rassias stability of solutions of a general class of nonlinear Volterra integral equations. By using a fixed point alternative and improving a technique commonly used in similar problems, we extend and improve some well-known results on this problem. We also provide some examples visualizing the improvement of the results mentioned.

研究の動機と目的

• 従来の制限を超えて、非線形ボルテア積分方程式に対するハイヤー＝ウラムおよびハイヤー＝ウラム＝ラシア安定性結果を拡張すること。
• 従来の安定性定理で必要とされた制限的仮定（例：KL < 1 および ∫ϕ(s)ds ≤ Kϕ(t)）の必要性を排除すること。
• 従来の定理が取り扱えなかったLipschitz定数L > 1 の場合に対しても安定性結果を一般化すること。
• 一般化された距離関数と指数的重み関数を用いた統一的枠組みを提供し、安定性解析を強化すること。

提案手法

• 距離関数 d が、任意の t に対して |g1(t) - g2(t)|e^{-η(t−t₀)} ≤ Cϕ(t) を満たすとき、d(g1, g2) ≤ C で定義される一般化された距離空間 (X, d) を導入する。
• 固定点の別法定理（定理2.2）を、(Θy)(t) = ∫ₜ₀ᵗ f(t,s,y(s))ds で定義される厳密に収縮的作用素 Θ に適用する。
• 成長を制御し収束を保証するために、η > L を満たす指数的重み因子 e^{η(t−t₀)} を用いる。
• 任意の η > L に対して、|y(t) - y₀(t)| ≤ ϕ(t)e^{ηr}/(1 - L/η) が成り立つことにより、安定性を確立する。
• 作用素 Θ が収縮定数 L/η < 1 を持つ厳密に収縮的であることを示す。
• 固定点定理を適用し、誤差境界を満たす解 y₀ の存在および一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボルテア積分方程式に対して、∫ϕ(s)ds ≤ Kϕ(t) および KL < 1 を要件としないハイヤー＝ウラム＝ラシア安定性を確立できるか？
• RQ2 Lipschitz定数 L > 1 の方程式に対し、固定点アプローチを用いてハイヤー＝ウラム安定性を達成できるか？
• RQ3 指数的重み関数 e^{η(t−t₀)} の選択が、古典的手法と比較して安定性推定をどのように改善するか？
• RQ4 固定点の別法が、非定数カーネルおよび一般のϕ(t)の境界を持つボルテア方程式に適応可能か？
• RQ5 誤差の近似の定量的評価は、ϕ(t) およびLipschitz定数Lの関数としてどのように表されるか？

主な発見

• 本稿では、従来の結果で必要とされた制限的条件 ∫ₐᵗ ϕ(s)ds ≤ Kϕ(t) を必要とせず、ボルテア積分方程式に対するハイヤー＝ウラム＝ラシア安定性を確立する。
• 著者らは、任意のLipschitz定数L > 0、特にLr ≥ 1 の場合（これは[25]の定理3.1など従来の定理が無効となる場合）に対してもハイヤー＝ウラム安定性を証明する。
• 誤差境界は、任意のη > Lに対して |y(t) - y₀(t)| ≤ ϕ(t)e^{ηr}/(1 - L/η) として明示的に与えられ、従来の結果よりも強い仮定を必要としない。
• 定数誤差εに対して、|y(t) - y₀(t)| ≤ εe^{ηr}/(1 - L/η) が任意のη > Lに対して成り立つことから、L > 1 の場合でも安定性が保証される。
• 本手法は一般性を有し、第1種および第2種のボルテア方程式の両方に適用可能であることが、定理2.4および2.7で示されている。
• 具体例により、従来の定理が失敗する場合（例：KL > 1 または Lr > 1）に対しても、本稿の結果が適用可能であることが確認され、実用的利点が示された。