[論文レビュー] On the Ultrarelativistic Limit of General Relativity

G. Daŭtcourt|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 1998

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 3被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、光の速度がゼロに近づく極端に相対論的極限である一般相対性理論の極限を提案する。この極限において光円錐は五次元時空内の退化した光的超曲面に収縮する。得られる理論は双曲型方程式ではなく常微分方程式を特徴とし、カルロール群に則る。重力の力学は通常のニュートン理論に類似した超局所的近似に簡略化されるが、時間的発展はテーキオン的であり、空間的伝播は存在しない。

ABSTRACT

As is well-known, Newton's gravitational theory can be formulated as a four-dimensional space-time theory and follows as singular limit from Einstein's theory, if the velocity of light tends to the infinity. Here 'singular' stands for the fact, that the limiting geometrical structure differs from a regular Riemannian space-time. Geometrically, the transition Einstein to Newton can be viewed as an 'opening' of the light cones. This picture suggests that there might be other singular limits of Einstein's theory: Let all light cones shrink and ultimately become part of a congruence of singular world lines. The limiting structure may be considered as a nullhypersurface embedded in a five-dimensional spacetime. While the velocity of light tends to zero here, all other velocities tend to the velocity of light. Thus one may speak of an ultrarelativistic limit of General Relativity. The resulting theory is as simple as Newton's gravitational theory, with the basic difference, that Newton's elliptic differential equation is replaced by essentially ordinary differential equations, with derivatives tangent to the generators of the singular congruence. The Galilei group is replaced by the Carroll group introduced by Lévy-Leblond. We suggest to study near ultrarelativistic situations with a perturbational approach starting from the singular structure, similar to post-Newtonian expansions in the $c o \infty$ case.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論の新たな特異極限を探索し、光速がゼロに近づく場合、標準的なニュートン極限（c→∞）とは逆の状況を考察すること。
• この極限における時空の幾何的構造を特定し、それが五次元に埋め込まれた四次元の光的超曲面であることを同定すること。
• この極端に相対論的状態における場の運動方程式を導出することにより、光の生成子に沿って常微分方程式に簡略化されることを示すこと。
• この極限における不変性群がカルロール群であることを確立し、ニュートン極限におけるガリレオ群とは対照的に比較すること。
• この特異極限の近くで強い重力現象を研究するための摂動的後極限展開を提案すること。

提案手法

• 退化計量を持つ特異なリーマン空間 $V^{(1)}_4$ を導入し、一意な接続が存在しないが、リッチ回転係数は定義可能であることを示す。
• 適応座標を用いて幾何を簡略化し、極端に相対論的極限における場の運動方程式を導出する。
• パrameter $\epsilon = c^2 \to 0$ を持つ一連の計量 $g_{\mu\nu}(x^\mu, \epsilon)$ におけるアインシュタイン方程式から、3次元計量 $\gamma_{ik}$ とスカラー関数 $H$ に対する制約を導出する。
• 真空中およびダスト物質の場合に、方程式を時間変数 $v = \partial/\partial v$ に関する常微分方程式系に還元し、(26)および(27)の初期条件と(28)による伝搬を用いて解を求める。
• $\dot{\gamma}_{ik}\gamma^{kl}\dot{H}_{,l} = 0$ の制約を適用し、$H$ の関数形を特定し、$H = h(v) + hh(\xi^i)$ の形の解を得る。
• 共動座標における物質密度の進化を導出し、$\rho \sim (\det \gamma_{ik})^{-1/2}$ であることを示し、極端に相対論的極限における保存則と整合的であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 光速がゼロに近づく極限における時空の幾何的構造は何か？
• RQ2 一般相対性理論の場の運動方程式は、この極端に相対論的極限においてどのように簡略化されるか？
• RQ3 カルロール群がこの極限における対称性群として果たす役割は何か？また、ニュートン極限におけるガリレオ群とはどのように異なるか？
• RQ4 特異極限で失われた力学的振る舞いを回復するための摂動的後極限展開を定式化できるか？
• RQ5 真空中およびダスト物質の解は、この極端に相対論的枠組みでどのように振る舞い、物理的解釈は何か？

主な発見

• 極端に相対論的極限では、光円錐が五次元に埋め込まれた退化時空構造 $V^{(1)}_4$ に収縮する。
• 場の運動方程式は光の生成子に沿って常微分方程式に簡略化され、空間的伝播はなく、テーキオン的発展のみが存在する。
• 真空中の場の運動方程式は(26)〜(28)で与えられ、初期値問題を形成し、時間発展において制約が保存される。
• ダスト物質の場合、伝搬方程式(33)には $\rho e^H$ に比例する源項が含まれ、物質密度 $\rho \sim (\det \gamma_{ik})^{-1/2}$ であればスカラー制約(34)が保存される。
• 例(31)〜(32)において、$v = -a/b$ で特異点（結晶点）が現れ、極端に相対論的波動力学における特異的振る舞いを示す。
• 等方的膨張の下では、物質密度は $\rho \sim \left(1 + \frac{9}{4r_0^3} \int \lambda \, dv\right)^{-2/3}$ に従い、一般相対性理論と同様に原点で特異点を示す。