[論文レビュー] On the uncomputability of the spectral gap

Seth Lloyd|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ユニバーサル計算が可能な量子ハミルトニアン系におけるスペクトルギャップの非計算可能性をレビューし、停止する計算（離散的、ギャップあり）と停止しない計算（連続的、ギャップなし）のスペクトル的差異により、ギャップが決定不能であることを示している。この結果は、停止問題をユニタリおよびハミルトニアンモデルのスペクトル的性質にマッピングすることによって生じ、フェイマンハミルトニアンがその主要な例として挙げられる。ここでギャップの計算可能性は、停止問題の決定不能性に依存する。

ABSTRACT

This paper reviews the 1994 proof that the spectral gap of Hamiltonian quantum systems capable of universal computation is uncomputable.

研究の動機と目的

• 1994年のスペクトルギャップの非計算可能性の証明を、現代の量子情報理論の言語に再解釈・再表現すること。
• 停止問題の決定不能性と量子系のスペクトル的性質を結ぶ根本的メカニズムを明確化すること。
• ベンイェフ、デューティッシュ、フェイマン、マーゴラスらの元来のモデルと、キュービットらの最近の平面的・物理的系との対比をとること。
• スペクトルギャップの非計算可能性は新規の発見ではなく、すでに基礎的量子計算モデルで確立されていたことを強調すること。

提案手法

• 時間ステップを追跡するクロックレジスタを用いたユニタリ時間発展演算子としての量子計算のモデル化。時間ステップを表す状態 $|\ell\rangle$ を用いる。
• ユニタリ時間発展演算子 $U = \sum_{\ell} U_{\ell} \otimes |\ell+1\rangle\langle\ell|$ の定義。$U_{-\ell} = U_{\ell}^\dagger$ とすることで逆方向の時間発展演算子を可能にする。
• 停止計算を循環的にするためにスピン・キュービットを導入し、有限計算における固有状態の存在を保証する。
• ユニタリ時間発展演算子を $H = U + U^\dagger$ によりハミルトニアンに変換し、連続時間ダイナミクスを記述する。
• ハミルトニアン $H$ のスペクトルを解析し、停止する場合の固有値を $2\cos(2\pi k/m)$、停止しない場合の固有値を $2\cos(2\pi a)$ として導出する。
• スペクトルギャップの存在が、計算が停止するかどうかに依存することを確立し、これは停止問題による決定不能性に起因する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニバーサル量子計算が可能なハミルトニアン系のスペクトルギャップを、アルゴリズム的に計算できるか？
• RQ2 量子計算の停止挙動が、関連するハミルトニアンのスペクトル的性質にどのように影響するか？
• RQ3 停止問題の決定不能性と量子系におけるスペクトルギャップの関係は何か？
• RQ4 フェイマンハミルトニアンモデルで物理的単純さにもかかわらず、なぜスペクトルギャップが非計算可能なのか？
• RQ5 スペクトルギャップの非計算可能性は、クロックレジスタの存在など、モデルの構造にどの程度依存するか？

主な発見

• ユニバーサル量子計算が可能なハミルトニアン系のスペクトルギャップは、停止問題の決定不能性に依存するため、非計算可能である。
• 停止計算の場合、ユニタリ時間発展演算子 $U$ のスペクトルは離散的であり、固有値が $e^{2\pi i k/m}$ となる。これにより、対応するハミルトニアン $H = U + U^\dagger$ に有限のスペクトルギャップが生じる。
• 停止しない計算の場合、$U$ のスペクトルは連続的であり、固有値が $a \in [0,1)$ に対して $e^{2\pi i a}$ となる。これにより、$H$ のスペクトルはギャップなしとなる。
• ハミルトニアン $H$ の固有状態は $U$ の固有状態と同一であり、停止する場合の形は $|k,b_0\rangle = \frac{1}{\sqrt{m}} \sum_{\ell=0}^{m-1} e^{-2\pi i k\ell/m} U^\ell |b_0\rangle |0\rangle$、停止しない場合の形は $|a,b_0\rangle = \sum_{\ell=-\infty}^{\infty} e^{-2\pi i a\ell} U^\ell |b_0\rangle |0\rangle$ となる。
• フェイマンハミルトニアンのスペクトルギャップは、スペクトルが離散的か連続的かを特定することが停止問題を解くことに等しいため、非計算可能である。
• この結果により、量子計算、決定不能性、スペクトル理論の間の基礎的関係が確立され、ギャップは原理的にもアルゴリズムで決定できないことが示された。