[論文レビュー] On the Undecidability of Fuzzy Description Logics with GCIs with Lukasiewicz t-norm

Marco Cerami, Umberto Straccia|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2011

Semantic Web and Ontologies参考文献 22被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、Łukasiewicz t-ノルム下での一般概念包含（GCIs）を備えた曖昧な記述論理 Ł-ALC における知識ベースの充足可能性の決定不能性を確立する。著者らは充足可能性問題を決定不能であるPostの対応問題（PCP）に還元することで、与えられた曖昧なオントロジーが充足可能かどうかを決定するアルゴリズムが存在しないことを証明し、先行する積論理（Product Logic）における決定不能性結果をŁukasiewicz論理へと拡張する。

ABSTRACT

Recently there have been some unexpected results concerning Fuzzy Description Logics (FDLs) with General Concept Inclusions (GCIs). They show that, unlike the classical case, the DL ALC with GCIs does not have the finite model property under Lukasiewicz Logic or Product Logic and, specifically, knowledge base satisfiability is an undecidable problem for Product Logic. We complete here the analysis by showing that knowledge base satisfiability is also an undecidable problem for Lukasiewicz Logic.

研究の動機と目的

• 文献における空白を埋めるために、Łukasiewicz t-ノルム下での一般概念包含（GCIs）を備えた曖昧な記述論理 Ł-ALC における知識ベースの充足可能性の決定不能性を証明すること。
• 以前に積論理（Product Logic）において示された決定不能性結果をŁukasiewicz論理へと拡張し、GCIsを有する曖昧な記述論理の分析を完成させること。
• Ł-ALC に GCIs を導入した場合、有限モデル性が成立しないことを示し、曖昧な設定において古典的記述論理の直感に反する事実を明らかにすること。
• 決定不能な制限付きPostの対応問題（RPCP）から、Ł-ALC に GCIs を備えた充足可能性問題への形式的還元を提供すること。

提案手法

• 与えられた RPCP インスタンス φ に基づいて、Łukasiewicz t-ノルムの意味論を用いて概念 V, W, A および役割 R_i の真理値を割り当てる曖昧な解釈 Iφ を構築する。
• 元の TBox Tφ に、形式 ⊤ ⊑ ∀R_i.(¬(V↔W) ⊔ ¬A) の新しい GCIs を追加して TBox Tφ′ を定義する。これにより、含意の真理値が 1 に制限される。
• Łukasiewicz論理の意味的性質——特に a ⊗ b = max{0, a+b−1} および a ⇒ b = min{1, 1−a+b}——を用いて、解釈内での真理値の伝播を分析する。
• φ が解を持つ場合、V と W が等しい真理値を持つ点 δ が存在し、これにより新しい GCIs が破られ、オントロジーが充足不能になることを示す。
• φ が解を持たない場合、すべての点で ¬(V↔W) > 0 かつその値が A を上回り、¬(V↔W) ⊔ ¬A が値 1 をとることから、すべての新しい GCIs が満たされることを証明する。
• 双方向条件を確立する：φ が解を持つことと、拡張されたオントロジー O′_φ が充足不能であることとは同値である。これにより、RPCP が Ł-ALC に GCIs を備えた充足可能性問題へと還元される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Łukasiewicz t-ノルム下での一般概念包含（GCIs）を備えた曖昧な記述論理 Ł-ALC における知識ベースの充足可能性は決定可能か？
• RQ2 Ł-ALC に GCIs を備えた場合、有限モデル性の失敗は充足可能性の決定不能性を意味するか？
• RQ3 積論理（Product Logic）における充足可能性の決定不能性は、GCIs を有する状況下で Łukasiewicz 論理へと拡張可能か？
• RQ4 決定不能な制限付きPostの対応問題（RPCP）から、Ł-ALC に GCIs を備えた充足可能性問題への還元は可能か？
• RQ5 Łukasiewicz論理の意味的性質を活用して、RPCP の解の有無に応じて特定の GCIs を充足または違反するような証拠モデルを構築できるか？

主な発見

• Łukasiewicz t-ノルム下での GCIs を備えた Ł-ALC における知識ベースの充足可能性は決定不能であり、GCIs を有する曖昧な記述論理の決定不能性分析を完成させる。
• 決定不能性の結果は、決定不能な制限付きPostの対応問題（RPCP）から Ł-ALC における充足可能性問題への還元によって確立される。
• RPCP インスタンス φ が解を持つ場合、新しい GCIs を含む ¬(V↔W) ⊔ ¬A が違反するため、拡張されたオントロジー O′_φ は充足不能である。
• φ が解を持たない場合、モデル Iφ 内のすべての点で ¬(V↔W) > A が成り立ち、¬(V↔W) ⊔ ¬A が値 1 をとることから、すべての新しい GCIs が満たされ、O′_φ は充足可能である。
• 双方向条件が成立する：φ が解を持つことと、O′_φ が充足不能であることとは同値であり、これにより Ł-ALC に GCIs を備えた充足可能性問題の決定不能性が証明される。
• この結果により、GCIs を備えた Ł-ALC において有限モデル性が成立しないことが示され、論理の意味的制約を満たすために無限のドメインを必要とするモデルが存在することが明らかになる。