[論文レビュー] On the uniform accuracy of implicit-explicit backward differentiation formulas (IMEX-BDF) for stiff hyperbolic relaxation systems and kinetic equations

Jingwei Hu, Ruiwen Shu|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2019

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 33被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、緩和パラメータ ε のすべてのスケールにおいて、剛性のある双曲型緩和系および運動方程式に対して、implicit-explicit backward differentiation formulas (IMEX-BDF) の一様精度を証明する。著者らは、独自の乗数技法を用いた新規なエネルギー推定を用い、ε に依存しない最適な事前誤差境界を確立することで、標準的手法がしばしば次数低下を起こす中間的スケールでも高次精度を保証する。

ABSTRACT

Many hyperbolic and kinetic equations contain a non-stiff convection/transport part and a stiff relaxation/collision part (characterized by the relaxation or mean free time $\varepsilon$). To solve this type of problems, implicit-explicit (IMEX) multistep methods have been widely used and their performance is understood well in the non-stiff regime ($\varepsilon=O(1)$) and limiting regime ($\varepsilon ightarrow 0$). However, in the intermediate regime (say, $\varepsilon=O(Δt)$), uniform accuracy has been reported numerically without a complete theoretical justification (except some asymptotic or stability analysis). In this work, we prove the uniform accuracy -- an optimal {\it a priori} error bound -- of a class of IMEX multistep methods, IMEX backward differentiation formulas (IMEX-BDF), for linear hyperbolic systems with stiff relaxation. The proof is based on the energy estimate with a new multiplier technique. For nonlinear hyperbolic and kinetic equations, we numerically verify the same property using a series of examples.

研究の動機と目的

• 数値的証拠は存在したが、完全な理論的裏付けが得られていなかった中間的スケール（ε = O(Δt)）における IMEX-BDF スキームの一様精度の厳密な理論的基盤を確立すること。
• ε が小さくも O(1) でもない場合に、剛性のある双曲型および運動方程式における IMEX スキームの次数低下の理論的理解のギャップを埋めること。
• 双曲型緩和系の対流-緩和構造に特化した、新たな乗数技法を開発・適用し、安定性および収束性の証明を行うこと。
• 線形ケースで観察された一様精度の性質が非線形運動方程式へと拡張可能であるかを数値的検証により確認すること。

提案手法

• 著者らは、剛性のある双曲型緩和系の構造に特化して設計された新規な乗数技法を用いたエネルギー推定を採用し、既存の乗数手法に起因する制限を克服した。
• この手法は、(1.1) のような剛性のある双曲型系に適用され、係数が変動する場合へと拡張された。
• 運動方程式に対しては、BGK モデルを用いて数値的検証が行われ、IMEX-BDF スキームは非線形系のモーメントベースの解法により実装された。
• 空間方向にはスペクトル離散化を組み合わせることで、空間方向の高次精度を達成し、厳密な誤差解析を可能にした。
• 証明により、ε に依存しない形で、‖u(T,·)−U(T,·)‖L² + ‖v(T,·)−V(T,·)‖L² ≤ CΔt^q という最適な事前誤差境界が得られた。
• 記号計算を用いて、q=4 の IMEX-BDF スキームの高次係数を 10^-31 の精度で導出し、安定性および一貫性条件を高い精度で満たすようにした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 緩和パラメータ ε のすべての値に対して、IMEX-BDF スキームが剛性のある双曲型緩和系に対して一様に精度を保証できるか、厳密に証明できるか？
• RQ2 標準的な乗数手法が失敗する中間的スケールにおいて、IMEX-BDF スキームの安定性を確立するために必要な新しい数学的技法は何か？
• RQ3 IMEX-BDF スキームの一様精度の性質は、BGK モデルのような非線形運動方程式へと拡張可能か？
• RQ4 ε が時間刻み Δt と同じオーダーであるとき、IMEX-BDF スキームの精度次数はどのように振る舞い、その理論的根拠は何か？

主な発見

• 本稿は、線形双曲型緩和系に適用した IMEX-BDF スキームに対して、定数 C が ε に依存しない形で、‖u(T,·)−U(T,·)‖L² + ‖v(T,·)−V(T,·)‖L² ≤ CΔt^q という最適な事前誤差境界を証明した。
• 一様精度は、4次まで IMEX-BDF スキームにまで拡張され、ε が非剛性、剛性、あるいは中間的スケールにあろうと、高次収束性が保証された。
• 対流-緩和構造を的確に捉えることのできる、新たな乗数技法が開発され、一様安定性および収束性の証明が可能になった。
• 数値結果により、非線形運動方程式（例：BGK 方程式）に対しても、同様に一様精度の性質が成り立つことが確認されたが、スキームが非線形的かつ陰的な性質を持つにもかかわらずである。
• 解析により、第一階のスキームでは ε が小さい場合に O(ε) 項を正しく捉えることができないことが示され、中間スケールの力学を解像するには高次スキームの必要性が明確になった。
• q=4 の場合、係数を 10^-31 の精度で計算した。また、関連する行列 G および A の最小固有値はそれぞれ約 5.03×10^-6 および 0.0765 であり、数値的安定性が確認された。