[論文レビュー] On the uniqueness class, stochastic completeness and volume growth for graphs

Xueping Huang, Matthias Keller+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、グローバルローカル（GL）と呼ばれる新しいグラフクラスを導入し、熱方程式に対するグリゴリヤン型の一意性クラス基準を証明することで、グラフの確率的完全性の最適な体積成長条件を確立する。著者らは、距離球が有限である内在的距離を備えたグラフにおいて確率的完全性が成立することを示し、一意性クラス結果は鋭いものである—GL条件が対数的要因でさえも満たされない場合、非自明な解が存在し、最適性が示される。

ABSTRACT

In this note we prove an optimal volume growth condition for stochastic completeness of graphs under very mild assumptions. This is realized by proving a uniqueness class criterion for the heat equation which is an analogue to a corresponding result of Grigor'yan on manifolds. This uniqueness class criterion is shown to hold for graphs that we call globally local, i.e., graphs where we control the jump size far outside. The transfer from general graphs to globally local graphs is then carried out via so called refinements.

研究の動機と目的

• グラフ上での熱方程式に対するグリゴリヤンの結果に類似した鋭い一意性クラス基準を確立すること。
• 非局所性にもかかわらずグリゴリヤンの不等式が成り立つ自然なグラフクラス—グローバルローカル（GL）グラフ—を特定すること。
• 局所的有限性やジャンプサイズの有界性を仮定せず、内在的距離において距離球が有限である場合に確率的完全性が保証されることを示すこと。
• GL条件が対数的要因でさえも満たされない場合に非自明な解が存在することを示す反例を構成することで、GL条件の鋭さを示すこと。
• 一様な測度下限や有限ジャンプサイズといった制限的仮定を排除することで、従来の確率的完全性に関する結果を統合的かつ拡張すること。

提案手法

• 参照点からの距離に応じてジャンプサイズが減少するという性質を持つ、グローバルローカル（GL）グラフのクラスを導入する。
• 非局所性を考慮した修正版のグリゴリヤン元来の証明戦略を用いて、GLグラフにおけるグリゴリヤンの不等式を証明する。
• 辺上に頂点を挿入するグラフの細分化を用いて、任意のグラフをGLグラフに変換しつつ、確率的完全性を保存する。
• グラフ空間の離散性に依存する、確率的完全性の安定性結果を確立する。
• 体積成長基準を満たすがGL条件を対数的要因で満たさない非GLグラフ上で、熱方程式の非自明な解を構成する。
• 特に内在的擬距離を用いたディリクレ形式に適合する内在的距離を用いて、距離球と体積成長を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グリゴリヤンの熱方程式に対する一意性クラス基準は、非局所グラフへと拡張可能か？ もし可能であれば、どのような条件下で成立するか？
• RQ2 一般のグラフでは成立しないにもかかわらず、どのようなグラフ構造的条件が一意性クラス結果を保証するか？
• RQ3 グローバルローカル条件は、一意性クラス基準にとって必要かつ最適か？ また、組み合わせ的距離における体積成長と比べてどう異なるか？
• RQ4 局所的有限性やジャンプサイズの有界性を仮定せず、内在的距離において距離球が有限であるという最小限の仮定のもとで、確率的完全性を保証できるか？
• RQ5 グローバルローカル条件が対数的要因で弱体化された場合、体積成長基準を満たすにもかかわらず、熱方程式に非自明な解が存在するか？

主な発見

• グローバルローカルグラフ上では、多様体からグラフへの拡張としてグリゴリヤンの結果が成立する一意性クラス基準が成り立つ。
• すべての距離球が有限であるような内在的擬距離が存在する場合、グラフの確率的完全性が保証される。
• グローバルローカル条件は鋭い：対数的要因でさえも満たされない場合、一意性クラス定理の体積成長基準を満たすがGL条件を満たさない非自明な解が存在する。
• 整数直線上で $ b(n-1,n) = n $ for $ n \geq 1 $ と定義した反例は、条件をさらに弱めることはできないことを示している。
• 体積成長基準 $ \int_0^T \sum_{x \in B_r(0)} |u_t(x)|^2 m(x) dt \leq C e^{c r^2} $ が解の自明性を保証するのは、グラフがグローバルローカルである場合に限る。
• グラフの細分化と確率的完全性の安定性に基づく証明技法により、一般のグラフに対してもGLケースへの還元によって結果を拡張可能である。