[論文レビュー] On the uniqueness of Barrett's solution to the fermion doubling problem in Noncommutative Geometry

Fabien Besnard|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2019

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非可換幾何におけるフェルミオン二重化問題の解決策としてバレットのメジャー アノン・ヴァイ ル条件——チャイラリティおよび実構造と可換するクリン ユニタリ群に不変な部分空間にフェルミオン場を射影する——が、自然な仮定の下で位相および符号の変更を除き一意的であることを証明している。さらに、明示的な射影を置き換えるために修正されたフェルミオン作用が、物理的自由度を保ちながら追加の制約を導入しないことを示している。

ABSTRACT

A solution of the so-called fermion doubling problem in Connes' Noncommutative Standard Model has been given by Barrett in 2006 in the form of Majorana-Weyl conditions on the fermionic field. These conditions define a ${\\cal U}_{J,\\chi}$-invariant subspace of the correct physical dimension, where ${\\cal U}_{J,\\chi}$ is the group of Krein unitaries commuting with the chirality and real structure. They require the KO-dimension of the total triple to be $0$. In this paper we show that this solution is, up to some trivial modifications, and under some mild assumptions on the finite triple, the only one with this invariance property. We also observe that a simple modification of the fermionic action can act as a substitute for the explicit projection on the physical subspace.

研究の動機と目的

• 非可換標準模型におけるフェルミオン二重化問題に対するバレットの解が、自然な物理的仮定の下で一意的であるかどうかを特定すること。
• チャイラリティおよび実構造と可換するクリン ユニタリ群 $\mathcal{U}_{J,\chi}$ に沿った不変性が物理的部分空間を定義する役割を調査すること。
• 明示的な物理的部分空間への射影を置き換えるために、修正されたフェルミオン作用が物理的自由度を保ちながら使用可能かどうかを調査すること。
• KO次元 0 がメジャー アノン・ヴァイ ル条件の整合性およびニュートリノ混合との関連性を保証する役割を明確にすること。

提案手法

• 論文は、バレットの条件 $J\psi = \psi$ および $\chi\psi = \psi$ を、位相因子 $e^{i\varphi}$ および符号選択 $\pm\psi$ を含む一般化した物理的部分空間の構造を分析する。
• 表現論を用いて、$J$ および $\chi$ で生成される代数の表現を用い、$\mathcal{U}_{J,\chi}$、つまり $J$ および $\chi$ と可換するクリン ユニタリ群に沿った不変性を仮定した場合に、この解が一意的であることを証明する。
• フェルミオン作用を $S_f(D,\psi) = (\psi, QD\psi)_r$ として再定義し、$Q$ を $J$ および $\chi$ の多項式とし、射影子 $p^1_1$ を $Q$ に埋め込むことで物理的部分空間を再現する。
• 作用 $S_f(D,\psi) = (p^1_1\psi, Dp^1_1\psi)_r$ が特定の $Q$ の選択と等価であり、この選択は $\mathbb{C}[J,\chi]$ の基底において実係数の範囲で一意的であることを示す。
• 作用の整合性および $\mathcal{U}_{J,\chi}$ に沿った不変性を保証するための $J^2$、$\chi^2$、および実構造の符号 $s$ に関する条件を導出し、$\kappa'' = -1$ および $\kappa s = 1$ の要請に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バレットのフェルミオン二重化問題の解は、$J$ および $\chi$ と可換するクリン ユニタリ群 $\mathcal{U}_{J,\chi}$ に沿った不変性を満たす唯一の解であるか？
• RQ2 $\mathcal{U}_{J,\chi}$ に沿った不変性が、非可換幾何の文脈における可能な物理的部分空間に課す制約は何か？
• RQ3 物理的部分空間は、明示的な射影ではなく、修正されたフェルミオン作用を通じて動的に回復可能か？
• RQ4 KO次元 0 は、メジャー アノン・ヴァイ ル条件の整合性およびその物理的解釈に果たす役割は何か？

主な発見

• バレットの解、すなわち $J\psi = \psi$ および $\chi\psi = \psi$ によって定義される解は、$\mathcal{U}_{J,\chi}$ に沿った不変性を仮定した場合、位相および符号の変更を除き、フェルミオン二重化問題の唯一の解である。
• $J^2 = 1$ および $J\chi = \chi J$ は整合性のために必要であり、これはスペクトル三重項の総体的 KO次元が 0 でなければならないことを示唆する。
• 修正されたフェルミオン作用 $S_f(D,\psi) = (\psi, QD\psi)_r$ で $Q = (1 + ae^{i\varphi}J)(1 + b\chi)$ とすると、明示的な射影なしに物理的部分空間を再現可能であり、$\kappa'' = -1$ および $\kappa s = 1$ の条件下で成立する。
• 作用 $S_f(D,\psi) = (\psi, p_{-1}^1 D\psi)_r$ は、物理的部分空間に制限された標準作用と等価であり、これは $\mathbb{C}[J,\chi]$ の基底において実係数の範囲で一意的である。
• 作用の対称的形 $S(D,\psi) = \frac{1}{8} \sum \text{traces}$ は $s=1$ および $s=-1$ の両方で有効であり、$\psi$、$D\psi$、$J\psi$、および $\chi J\psi$ を含むすべての項を含む。
• 論文は、標準作用 $(\psi, D\psi)_r$ がまた微調整の一種であることを示し、提案された作用は、場の値を制限する必要がなく、正しい物理的内容を保ちながらより経済的であることを示している。