[論文レビュー] On the uniqueness of continuous inverse kinetic theory for incompressible fluids

Massimo Tessarotto, Marco Ellero|ArXiv.org|Nov 12, 2006

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、連続的逆運動論的理論における非一意性問題を、運動エネルギーフラックスのモーメント方程式に対称化条件を課えることで解決する。これにより、平均場力 $\mathbf{F}$ が一意に定まり、逆運動論的方程式が非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式およびエネルギー方程式を満たすことが保証される。得られる理論は、古典的解にのみ適用可能であり、非圧縮性流体動力学のための一意的かつ物理的に整合性のある運動論的定式化を提供する。

ABSTRACT

Fundamental aspects of inverse kinetic theories for incompressible Navier-Stokes equations concern the possibility of defining uniquely the kinetic equation underlying such models and furthermore, the construction of a kinetic theory implying also the energy equation. The latter condition is consistent with the requirement that fluid fields result classical solutions of the fluid equations. These issues appear of potential relevance both from the mathematical viewpoint and for the physical interpretation of the theory. In this paper we intend to prove that the non-uniqueness feature can be resolved by imposing suitable assumptions. These include, in particular, the requirement that the kinetic equation be equivalent, in a suitable sense, to a Fokker-Planck kinetic equation. Its Fokker-Planck coefficients are proven to be uniquely determined by means of appropriate prescriptions. In addition, as a further result, it is proven that the inverse kinetic equation satisfies both an entropy principle and the energy equation for the fluid fields.

研究の動機と目的

• 非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の逆運動論的方程式における非一意性を解消すること。これは、ストリーミング作用素に存在する任意のパラメータに起因する。
• 逆運動論的方程式が非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に加え、流体場のエネルギー方程式をも導出できることを保証すること。
• 古典的解と整合性を持つ、一意的かつ物理的に解釈可能な平均場力 $\mathbf{F}$ の形を確立すること。
• 新しい定式化のもとで、運動分布関数が正であり、エントロピー原理を満たし続けることの証明。
• 非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の強い解（古典的解）と整合性を持つようにすることで、複雑な流体の数値的応用および理論的モデル化の基盤を提供すること。

提案手法

• ストリーミング作用素に存在する任意パラメータを排除するため、運動エネルギーフラックスのモーメント方程式に対称化条件を課える。
• 平均場力 $\mathbf{F}$ を二通りの表現で定義する：連続の式および運動量方程式から得られる $\mathbf{F}_0$ と、エネルギー方程式から得られる $\mathbf{F}_1$。
• 流体場が古典的解であると仮定し、$\mathbf{F}_0$ と $\mathbf{F}_1$ の整合性を要求することで、$\mathbf{F}$ の一意な形を導出する。
• 重み関数 $G = 1$、$\mathbf{v}$、および $E = \frac{1}{3}u^2$ を用いたモーメント方程式から、非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式およびエネルギー方程式を導出する。
• $\mathbf{F}_0$ と $\mathbf{F}_1$ の等価性が $\Gamma \times I$ 上で恒等的に成り立つのは、エネルギー方程式が満たされている場合に限ることを証明する。
• 流体場が古典的解であれば、新しい $\mathbf{F}$ を用いた逆運動論的方程式が、マクスウェル平衡および非マクスウェル平衡の両方に対して有効であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非圧縮性流体の逆運動論的方程式における非一意性は、追加の物理的制約を課すことによって解消可能か？
• RQ2 エネルギー方程式をモーメント方程式として含めることで、平均場力 $\mathbf{F}$ が一意に定まるか？
• RQ3 得られた逆運動論的方程式は、非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式およびエネルギー方程式の古典的解と整合性を保つか？
• RQ4 運動方程式とエネルギー方程式を同時に満たすように、平均場力 $\mathbf{F}$ を一意に定義可能か？
• RQ5 新しい定式化は、運動分布関数の正値性を保ち、エントロピー原理を満たすか？

主な発見

• 平均場力 $\mathbf{F}$ は、運動エネルギーフラックスのモーメント方程式とエネルギー方程式の整合性を要求することで一意に定まり、任意パラメータ $\alpha$ が排除される。
• 新しい $\mathbf{F}$ を用いた逆運動論的方程式は、流体場が古典的解である場合、非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式およびエネルギー方程式をモーメント方程式として正確に再現する。
• エネルギーフラックスから得られる $\mathbf{F}_1$ とエネルギー方程式から得られる $\mathbf{F}_1$ の二つの表現が、エネルギー方程式が満たされている場合に限り、恒等的に一致する。
• 等体積条件 $\nabla \cdot \mathbf{V} = 0$ は、運動エネルギーのモーメント方程式を通じて強制され、非圧縮性と整合性を保つ。
• 新しい定式化により、運動分布関数が正であり、有効な運動論的理論の条件を満たすことが保証される。
• 逆運動論的方程式は、非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の強い解（古典的解）の存在に必要な条件を提供するようになり、弱解や数値解とは明確に区別される。