[論文レビュー] On the uniqueness of solutions to quadratic BSDEs with convex generators and unbounded terminal conditions: the critical case

Freddy Delbaen, Ying Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、生成子が強い凸性を有し、解の指数的モーメントが $ L^\gamma $ に属する臨界ケースにおいて、凸な生成子と非有界な終端条件をもつ2次型後向き確率微分方程式（BSDE）の解の一意性を確立する。証明は測度変換と上martingaleの議論に依拠し、解の指数的モーメントが臨界 $ L^\gamma $ 条件のもとで一様可積分である場合、2つの解が一致することを示す。

ABSTRACT

In [3], the authors proved that uniqueness holds among solutions whose exponentials are $L^p$ with $p$ bigger than a constant $\\gamma$ ($p\ extgreater{}\\gamma$). In this paper, we consider the critical case: $p=\\gamma$. We prove that the uniqueness holds among solutions whose exponentials are $L^\\gamma$ under the additional assumption that the generator is strongly convex.

研究の動機と目的

• 2次型BSDEの解の一意性に関する未解決問題を、以前の結果が $ p > \gamma $ の場合にのみ成り立つ臨界ケース $ p = \gamma $ において解決すること。
• 解の指数的モーメントが $ L^\gamma $ に属する解のクラスにおいて一意性が成立することを確立すること。これは存在定理から自然に導かれる可積分性条件に対応する。
• 強い凸性の仮定なしに一意性結果が成立するか否かを検討すること。ただし、これは未解決のままである。
• 特に効用最大化問題を含む数学的ファイナンスおよび確率的制御の文脈において、2次型BSDEの理論的理解を拡張すること。

提案手法

• 局所化手続きを用いて、その指数 $ e^{-\gamma Y} $ がクラス(D)に属する解を構成し、一様可積分性を保証する。
• 予測可能過程 $ q_s \in \partial g(Z_s) $ のDoléans-Dawlis指数を用いて測度変換を定義し、新たな確率測度 $ \mathbb{Q} $ における動的構造に変換する。
• 時間変換された差 $ Y_s - Y_s' $ の指数に伊藤の公式を適用し、正の定数 $ C_2 $ と小さなパラメータ $ \alpha > 0 $ を導入することで、上martingale性を導出する。
• 生成子 $ g $ の強い凸性を活用し、差 $ g(Z_s') - g(Z_s) - (Z_s' - Z_s)q_s \geq \frac{\varepsilon}{2}|Z_s' - Z_s|^2 - C_2 $ を有界化し、ドリフト項を制御する。
• $ \mathbb{Q} $ における過程 $ e^{\alpha(Y_{s\wedge\tau} - Y_{s\wedge\tau}^\prime + C_2(T-s))\mathbf{1}_A} $ が有界な上martingaleであることを示し、$ Y_t < Y_t' $ が正の確率集合で成立する場合に矛盾を導く。
• 結論として、$ Y_t \geq Y_t' $ a.s. であり、対称性により $ Y_t = Y_t' $ が得られ、$ L^2 $ ノルムの差から $ Z_t = Z_t' $ a.s. が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次型BSDEの解の一意性が、解の指数的モーメントが $ L^\gamma $ に属する臨界ケース $ p = \gamma $ において、凸生成子と非有界終端条件のもとで成立するか。
• RQ2 強い凸性の仮定なしに、臨界 $ L^\gamma $ 可積分性条件のもとで一意性結果を拡張できるか。
• RQ3 強い凸性の生成子が、臨界 $ L^\gamma $ 条件のもとでの一意性を保証するために果たす役割は何か。
• RQ4 強い凸性の仮定は、臨界ケースにおける一意性にとって必要であるか、それとも取り除けるか。
• RQ5 解の指数的モーメントは、2次型BSDEの存在・一意性理論とどのように関係しているか。

主な発見

• 強い凸性を有する生成子をもつ2次型BSDEの解の一意性は、凸生成子と非有界終端条件をもつ臨界ケース $ p = \gamma $ において成立する。
• 解 $ Y $ は $ \mathbb{E}[\sup_{t \in [0,T]} e^{\gamma Y_t^-}] < \infty $ を満たし、臨界 $ L^\gamma $ 条件のもとで $ e^{-\gamma Y} $ が一様可積分な martingale であることを保証する。
• 証明は、部分勾配過程のDoléans-Dawlis指数を用いた測度変換に依拠し、$ \mathbb{Q} $ における動的構造を上martingaleに変換する。
• 強い凸性の仮定により、差 $ g(Z_s') - g(Z_s) - (Z_s' - Z_s)q_s $ の下界が保証され、これが上martingaleの議論において不可欠である。
• 結果として、$ L^\gamma $ 可積分性条件が一意性に対して鋭いことが確認され、これは存在定理から生じる可積分性条件と一致する。
• 本手法により、すべての $ t \in [0,T] $ に対して $ Y_t = Y_t' $ および $ Z_t = Z_t' $ a.s. が得られ、提示された条件下でパスごとの一意性が確立される。