[論文レビュー] On the Uniqueness of the Non-Abelian Gauge Theories in Epstein-Glaser Approach to Renormalisation Theory

D. R. Grigore|ArXiv.org|Jun 30, 1998

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 41被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、エプスタイン＝グレーザー因果的摂動理論枠組みにおいて、非アーベルゲージ理論の一意性を示している。質量ゼロのベクトル場の複数の結合が物理的ヒルベルト空間への因子化を満たすという条件の下で、唯一の整合的結合はヤン・ミルズ相互作用に帰着することを示している。この証明はゲージ対称性を事前に仮定するのではなく、因子化条件（物理状態への射影）に依拠しており、クォークが同じゲージ群の表現に従う場合にも拡張可能であり、ゲージ構造が一貫性から自発的に生じることを確認している。

ABSTRACT

We generalise a result of Aste and Scharf saying that, under some reasonable assumptions, consistent with renormalisation theory, the non-Abelian gauge theories describes the only possibility of coupling the gluons. The proof is done using Epstein-Glaser approach to renormalisation theory.

研究の動機と目的

• エプスタイン＝グレーザー因果的摂動理論枠組みにおける非アーベルゲージ理論の一意性を確立すること。
• S行列が物理的ヒルベルト空間に因子化される必要がある場合に、質量ゼロのベクトル場の複数の結合の中で唯一整合的なものはヤン・ミルズ相互作用であることを示すこと。
• 結果をクォークを含む形に一般化し、それらが同じゲージ群の表現に従わなければならないことを示すこと。
• ゲージ不変性が独立した公理ではなく、一貫性と因子化の結果であることを示すこと。
• 摂動的一致性と物理的状態への射影からゲージ対称性がどのように生じるかを厳密に基礎づけること。

提案手法

• エプスタイン＝グレーザー因果的摂動理論を用い、S行列を遅延積と分布の分割により構成する。
• ゴースト場を含むフォック空間を構成し、Wick単項式が明確に定義される補助ヒルベルト空間 $\mathcal{H}_{gh}$ を定義する。
• S行列が物理的ヒルベルト空間 $\mathcal{H}_{\text{phys}} = \ker(Q)/\text{im}(Q)$ に下降することを要求する因子化条件を課す。ここで $Q^2 = 0$ である。
• 2次順序の歴史的積 $T_2(x,y)$ を分析し、一貫性と因子化の下での相互作用頂点の許容される形を特定する。
• 交換関係の遅延成分が物理状態上で消えるという条件を適用し、構造定数と表現行列に対する制約を導出する。
• 物理的状態への射影の下で発散と異常がキャンセルされるようにするため、相互作用ラグランジアンの形を導出し、それが一意にヤン・ミルズ形式に帰着することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ対称性を事前に仮定せずに、質量ゼロのベクトル場の結合としてヤン・ミルズ相互作用が一意に導かれるか？
• RQ2 S行列が物理的ヒルベルト空間に因子化されるという要請が、相互作用頂点の構造を一意に決定するか？
• RQ3 物質場（クォーク）の表現が、事前に仮定するのではなく一貫性条件から導かれるか？
• RQ4 因子化条件が構造定数 $f_{abc}$ と表現行列 $t_a$ にどのように制約を加えるか？
• RQ5 ゴーストスーパーエネルギー演算子 $Q$ は、エプスタイン＝グレーザー枠組みにおいて、S行列が物理状態のみに寄与することを保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 物理的ヒルベルト空間への因子化を満たす $r > 1$ 個の質量ゼロのベクトル場の唯一の整合的結合はヤン・ミルズ相互作用である。
• 構造定数 $f_{abc}$ はジャコビ恒等式を満たし、ゲージ群はコンパクトかつ単純でなければならないが、これらは一貫性から生じるものであり、仮定として導入されるものではない。
• クォークは同じリーリー代数の有限次元表現に従わなければならない。表現行列 $t_a$ は $[t_a, t_b] = if_{abc}t_c$ を満たし、因子化条件から導出可能である。
• 2次順序の歴史的積 $T_2(x,y)$ は発散項と質量項を除き一意に定まり、ヤン・ミルズ頂点が唯一の整合的選択である。
• ゲージ不変性は独立した公理ではなく、因子化条件と摂動的一致性の結果である。
• 理論は真空期待値において赤外発散を示しており、質量ゼロの場の理論では標準的なフォック空間形式が修正されない限り不十分であることを示唆している。