[論文レビュー] On the universal abelian variety of dimension 4

Alessandro Verra|ArXiv.org|Nov 25, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、モジュライ空間 $\mathcal{A}_4$ 上の普遍的プリム・ポラライズドアーベリアン多様体およびその普遍的シータ divisor が、有理的であることを証明している。ピルム多様体、種数5の曲線のエタール二重被覆、およびニキンリン自己同型をもつK3多様体を用いて、$\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ に埋め込まれた曲線の0次元サイクルの有理的パラメータ空間を構成した。その結果、モジュライ族が有理的多様体を支配することを示し、次に4次元における普遍的p.p.a.v.および普遍的シータ divisor の有理的性を確立した。

ABSTRACT

Let A be the moduli space of principally polarized abelian varieties of dimension 4 over an algebraically closed field k of characteristic different from 2,3. It is proved that the universal principally polarized abelian variety over A, as well as the universal theta divisor over A, are unirational varieties.

研究の動機と目的

• モジュライ空間 $\mathcal{A}_4$ 上の普遍的プリム・ポラライズドアーベリアン多様体 $\mathcal{X}_4$ の双有理幾何を特定すること。
• モジュライ空間 $\mathcal{A}_4$ 上の普遍的シータ divisor が有理的、有理的、または一般型かどうかを調査すること。
• 特に、有理的被覆性および有理的連結性の文脈において、$g=4$ の場合の $\mathcal{X}_g$ のコルデイラ・次元および有理的性に関する未解決問題を解決すること。
• ピルム多様体およびK3多様体を用いた幾何的構成を通じて、既知の $\mathcal{A}_4$ の有理的性を、その普遍族および普遍的シータ divisor へ拡張すること。

提案手法

• 曲線 $C$ のエタール二重被覆 $\tilde{C} \to C$ の0次元サイクル $d$ の有理的パラメータ空間を、$\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ への埋め込みを用いて構成する。
• 曲線に固定点のない自己同型を誘導するニキンリン自己同型をもつK3多様体 $\tilde{S}$ を、$\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ 内の完全交差として用いる。
• $\tilde{S}$ 上の点、二次曲線、および因子の配置を用いて、タイプ1およびタイプ2のマーク付き0次元サイクルを定義し、線形系統が次数8のペンブルであることを保証する。
• 4組 $(o, \tilde{S}, d, \tilde{C})$ の族 $\tilde{\mathbb{C}}_i$ を構成し、忘却写像 $\phi_i$ を通じてピルム多様体のモジュライ空間へ支配的写像を定める。
• ペトリ写像のコランクが1であることと、$|d|$ が基点自由であることを利用して、パラメータ空間に有理的構造が存在することを保証する。
• 偶奇性の補題および超平面切断の性質を適用し、横断性と既約性を検証し、写像 $\phi_i$ の支配性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュライ空間 $\mathcal{A}_4$ 上の普遍的プリム・ポラライズドアーベリアン多様体 $\mathcal{X}_4$ は有理的か？
• RQ2 モジュライ空間 $\mathcal{A}_4$ 上の普遍的シータ divisor は有理的か？
• RQ3 ピルム構成を用いて、$\mathcal{A}_4$ の有理的性をその普遍族および普遍的シータ divisor へ拡張できるか？
• RQ4 K3多様体にニキンリン自己同型をもつこと、および $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ への埋め込みといった幾何的構造は、モジュライ空間の有理的パラメータ化を可能にするか？

主な発見

• 普遍的プリム・ポラライズドアーベリアン多様体は、有理的多様体 $\tilde{\mathbb{C}}_1$ を用いた支配的有理写像 $\phi_1: \tilde{\mathbb{C}}_1 \to \mathcal{W}_1$ によって、$\mathcal{A}_4$ 上で有理的であることが示された。
• 普遍的シータ divisor も、有理的族の4組の族 $\tilde{\mathbb{C}}_2$ からの支配的有理写像 $\phi_2: \tilde{\mathbb{C}}_2 \to \mathcal{W}_2$ によって、有理的であることが分かった。
• タイプ1のマーク付き0次元サイクルの族 $\mathbb{D}_1$ は有理的であり、構成のための有理的パラメータ空間を提供する。
• $|\operatorname{Im} \mu|$ は、$\tilde{C}$ を $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ に埋め込み、その線形包が $\mathbb{P}^8$ 内の超平面となるように定義され、幾何的構成を可能にする。
• 一般の $\tilde{C}$ に対して、ペトリ写像 $\mu: H^0(L) \otimes H^0(i^*L) \to H^0(\omega_{\tilde{C}})$ はコランク1をもち、必要なラインバンドルと埋め込みの存在を保証する。
• $i=1,2$ に対して写像 $\phi_i: \tilde{\mathbb{C}}_i \to \mathcal{W}_i$ は支配的であり、普遍的p.p.a.v.および普遍的シータ divisor が有理的であることを確認した。