[論文レビュー] On the universality of the incompressible Euler equation on compact manifolds

Terence Tao|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、対称的双線形写像 $B$ を持つ二次の常微分方程式（ODE）$\partial_t y = B(y,y)$ が、コンパクトなリーマン多様体上の非圧縮性オイラー方程式へ線形埋め込み可能となるための完全な特徴付けを確立している。主な結果は、このような埋め込みが可能であるための必要十分条件が、エネルギー保存を保証する正定値内積に関して $\langle B(y,y), y \rangle = 0$ を満たす、すなわちキャンセルレーション条件を満たすことである。この条件により、準周期的または定常状態間の遷移を示すような複雑な流体力学的挙動の構成が可能となる。

ABSTRACT

The incompressible Euler equations on a compact Riemannian manifold $(M,g)$ take the form \begin{align*} \partial_t u + abla_u u &= - \mathrm{grad}_g p \mathrm{div}_g u &= 0. \end{align*} We show that any quadratic ODE $\partial_t y = B(y,y)$, where $B : {\bf R}^n imes {\bf R}^n o {\bf R}^n$ is a symmetric bilinear map, can be linearly embedded into the incompressible Euler equations for some manifold $M$ if and only if $B$ obeys the cancellation condition $\langle B(y,y), y angle = 0$ for some positive definite inner product $\langle, angle$ on $ {\bf R}^n$. This allows one to construct explicit solutions to the Euler equations with various dynamical features, such as quasiperiodic solutions, or solutions that transition from one steady state to another, and provides evidence for the "Turing universality" of such Euler flows.

研究の動機と目的

• 有限次元の二次ODEがコンパクトなリーマン多様体上の非圧縮性オイラー方程式へ埋め込まれるための必要十分条件を特定すること。
• エネルギー保存を満たすような任意のODEが、オイラー流れの有限次元不変部分空間として実現可能であることを示すことにより、非圧縮性オイラー方程式の普遍性を確立すること。
• 幾何学的およびリー理論的技法を用いて、準周期的または定常状態間の遷移といった複雑な動的特徴を示すオイラー方程式の明示的解を構成すること。
• オイラー方程式が、エネルギー保存を伴う二次非線形項を有する任意の有限次元ODEを模倣可能な意味で「チューリング普遍的」であることを示すこと。

提案手法

• Hodge理論を用いて非線形項 $-\frac{1}{2}(\nabla_u u_2 + \nabla_u u_1)$ を発散なしベクトル場に射影し、対称的双線形作用素 $B_E(u_1, u_2)$ を得る。
• 双線形形式 $B$ から導かれる歪自己随伴写像 $S(y) \in \mathfrak{so}(n)$ を用いて、特殊直交群 $SO(n)$ 上の右不変ベクトル場 $U(y)$ を構成する。
• $SO(n)$ 上で $F(y,z)(Q) = \langle y, Qz \rangle_{\mathbb{R}^n}$ としてスカラー関数を定義し、ODEの力学と流体方程式を関連付ける。
• ハア測度に関する不変性により、ベクトル場 $U(y)$ が非圧縮性条件 $\mathrm{div}_g U(y) = 0$ を満たすことを証明する。
• 歪自己随伴性とキャンセルレーション条件を用いて、恒等式 $U(B(y,y)) + \nabla_{U(y)} U(y) = -\mathrm{grad}_g P(y)$ を用いてオイラー方程式が成立することを検証する。
• 特に $SO(n)$ の群構造に起因する高い対称性を活用することで、$n^2 r$ 個の過剰決定系を $n r$ 個の独立関数に削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的二次ODE $\partial_t y = B(y,y)$ が、コンパクトなリーマン多様体上の非圧縮性オイラー方程式へ埋め込まれる条件は何か？
• RQ2 キャンセルレーション条件 $\langle B(y,y), y \rangle = 0$ は、このような埋め込みが存在するための必要十分条件であるか？
• RQ3 コンパクト多様体上のオイラー方程式は、エネルギー保存を伴う二次非線形項を有する任意の有限次元力学系を模倣可能か？
• RQ4 このような埋め込みの存在が、オイラー流れに対して「チューリング普遍性」の形式を示唆するか？
• RQ5 与えられたODEをオイラー枠組み内で実現するための多様体、ベクトル場、および圧力写像を明示的に構成する方法は何か？

主な発見

• 任意の対称的双線形写像 $B: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ が、あるコンパクトなリーマン多様体上の非圧縮性オイラー方程式へ埋め込まれるための必要十分条件は、$\mathbb{R}^n$ 上に正定値内積が存在し、任意の $y \in \mathbb{R}^n$ に対して $\langle B(y,y), y \rangle = 0$ が成り立つことである。
• キャンセルレーション条件 $\langle B(y,y), y \rangle = 0$ は、任意の $y \in \mathbb{R}^n$ に対して $B(y,y) = S(y)(y)$ を満たす線形写像 $S: \mathbb{R}^n \to \mathfrak{so}(n)$ の存在と同値であり、二次形式の幾何的実現を与える。
• 埋め込みは多様体 $M = SO(n)$ 上に明示的に構成され、速度場 $U(y)$ は $S(y)$ によって生成される右不変ベクトル場として与えられ、非圧縮性と正しい力学的挙動を保証する。
• 圧力場 $P(y)$ はHodge射影を介して $u$ の二次関数として構成され、ODE解の存在する時間区間において、結果として得られる系がオイラー方程式を正確に満たす。
• この構成により、コンパクト多様体上のオイラー方程式が、エネルギー保存を伴う任意の有限次元二次ODE（準周期的・遷移的挙動を含む）を模倣可能であることが示された。
• リー群 $SO(n)$ の対称性を活用することで、過剰決定系の $n^2 r$ 個の式を $n r$ 個の独立関数に削減でき、非自明な解が得られる。