[論文レビュー] On the unramified principal series of GL(3) over non-archimedean local fields

Uri Onn, Pooja Singla|NOT FOUND REPOSITORY (Indian Institute of Science Bangalore)|Oct 20, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非アーチメデス的局所体 F 上の GL(3) の不分岐主系列表現の、最大コン pact 型 GL₃(𝒪) への制限について、その既約成分を完全に分解する。cone C ⊂ ℕ₀³ に付随するパラボリック部分群のフィルトレーションを用い、不変量 λ(c), κ(c), μ(c) を通じて既約成分を分類し、V_c が既約であるための必要十分条件が c が C の境界 ∂C 上にあることであることを示し、生成関数と群論的数え上げを用いて各次元の既約部分表現の数の明示的公式を導出する。

ABSTRACT

Let F be a non-archimedean local field and let O be its ring of integers. We give a complete description of the irreducible constituents of the restriction of the unramified principal series representations of GL(3,F) to GL(3,O).

研究の動機と目的

• F が非アーチメデス的局所体であるとき、GL(3,F) の不分岐主系列表現を最大コン pact 型 GL₃(𝒪) に制限したものの、完全な分解を達成すること。
• 先行研究の部分的結果を拡張し、n=3 の場合における既約分解の未解決問題を解消すること。
• cone C ⊂ ℕ₀³ に付随する組合せ的不変量 λ(c), κ(c), μ(c) を用いて、既約成分の完全分類を提供すること。
• 生成関数と群論的数え上げを用いて、各次元の既約部分表現の数の明示的公式を導出すること。

提案手法

• c ∈ C ⊂ ℕ₀³ に対して、主合同部分群 K^ℓ とパラボリック部分群 P_c に付随するフィルトレーションを用いて、誘導表現 V = Ind_B^G(1) を定義する。
• U_c = Ind_{P_c}^G(1) とし、V_c = U_c / ∑_{d≺c} U_d を導入し、V を c ∈ C における直和に分解する。
• 不変量 λ(c) = c₃, κ(c) = c₁ + c₂ − c₃, μ(c) = min{c₁ + c₂ − c₃, c₃ − c₁, c₃ − c₂} を用いて、V_c の同型型を分類する。
• V_c が既約であることの必要十分条件が、c が cone C の境界 ∂C 上にあることであることを証明する。
• c が内部 C° にある場合、V_c を P_{c−mρ} から G への誘導表現として分解し、V_c^m = U_c^m / ∑_{c−mρ ≼ d ≺ c} U_d^m を用いる。
• |𝒪_m × ∖ 𝒪_{m−1} ×| と多項式 f_n(q), g_n(q) を用いた数え上げにより、既約部分表現の数の生成関数 ζ_{G,V}(s) を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーチメデス的局所体 F 上の GL(3,F) の不分岐主系列表現を GL₃(𝒪) に制限したとき、その既約成分への完全な分解は何か？
• RQ2 どのパrameter c ∈ C が同型な既約成分 V_c を与え、それらを分類する不変量は何か？
• RQ3 どの c ∈ C に対して V_c が既約であり、cone C の境界 ∂C はどのように特徴づけられるか？
• RQ4 各次元 n に対して、制限された表現に含まれる既約部分表現はいくつ存在するか？その列挙の生成関数は何か？
• RQ5 次元 η₁(q)qⁿ および η₂(q)qⁿ の既約成分の正確な個数は、q と n を用いてどのように表されるか？

主な発見

• V_c が既約であるための必要十分条件は、c が cone C の境界 ∂C 上にあること、すなわち c₁, c₂ < c₃ < c₁ + c₂ が成り立たないことである。
• 2つの表現 V_c と V_d が同型であるための必要十分条件は、λ(c) = λ(d), κ(c) = κ(d), μ(c) = μ(d) であり、さらに κ(c) > μ(c) のときには c = d でなければならない。
• c ∈ C° で λ(c) ≥ 2 のとき、V_c の既約成分の数は、κ(c) = μ(c) ならば a(c) = 1 + (q−1)q^{μ(c)−1}、κ(c) > μ(c) ならば a(c) = 1 + (q−1)q^{κ(c)−1} で与えられる。
• 既約 n 次元部分表現の数の生成関数 ζ_{G,V}(s) は、f_n(q) と g_n(q) を含む和として明示的に計算され、f_n(q) は偶数 n ≥ 4 のときのみ非ゼロ、g_n(q) は n ≥ 5 のとき非ゼロである。
• 次元 η₁(q)qⁿ の既約部分表現の数は f_n(q) = q^{⌊n/6⌋−1}((p_{n/2}+1)q + (2−p_{n/2})) で与えられ、p_n は n を 3 で割った余りである。奇数 n のときには 0 である。
• 次元 η₂(q)qⁿ の既約部分表現の数は g_n(q) = (q^{⌊n/2⌋}−1)/(q−1) + (q^{⌊n/2⌋−1}−1)/(q−1) + min{p_n,1}q^{⌊n/2⌋−1} で与えられ、p_n は n を 3 で割った余りである。