[論文レビュー] On the Unstable Directions and Lyapunov Exponents of Anosov Endomorphisms

Fernando Micena, Ali Tahzibi|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、閉多様体上のAnosov自己準同型における不安定方向とリャプノフ指数の構造を調査し、二分岐性を証明する。すなわち、軌道的Anosov自己準同型は、各点に1つの不安定方向しか持たない特殊な場合か、残渣的集合の点に対して非可算無限個の不安定方向を持つ場合のいずれかである。さらに、線形トーラス自己準同型の近傍における$C^{1+\beta}$余次元1のAnosov自己準同型について、不安定リャプノフ指数の半剛性を確立し、保存的$C^{1+\beta}$Anosov自己準同型のエルゴディシティを証明する。

ABSTRACT

Despite the invertible setting, Anosov endomorphisms may have infinitely many unstable directions. Here we prove, under transitivity assumption, that an Anosov endomorphism on a closed manifold $M,$ is either special (that is, every $x \in M$ has only one unstable direction) or for a typical point in $M$ there are infinitely many unstable directions. Other result of this work is the semi rigidity of the unstable Lyapunov exponent of a $C^{1+α}$ codimension one Anosov endomorphism and $C^1$ close to a linear endomorphism of $\mathbb{T}^n$ for $(n \geq 2).$ In the appendix we give a proof for ergodicity of $C^{1+α}, α> 0,$ conservative Anosov endomorphism.

研究の動機と目的

• Anosov自己準同型における不安定方向の構造を理解すること、特に各点に有限個または無限個のこのような方向が存在するかどうかを特定すること。
• 非特殊Anosov自己準同型が、各点に有限個の不安定方向しか持たない可能性があるかどうかを同定すること。
• 線形トーラス自己準同型の近傍における$C^{1+\beta}$余次元1Anosov自己準同型について、不安定リャプノフ指数の半剛性を確立すること。
• SRB測度論および逆極限空間技術を用いて、保存的$C^{1+\beta}$Anosov自己準同型のエルゴディシティを証明すること。

提案手法

• 逆極限空間の構成を用いて、自己準同型を普遍被覆上での微分同相写像に上げることで、不変foliationおよび安定/不安定バンドル理論の適用を可能にする。
• SRB測度および条件付き測度の理論を応用し、エルゴディック分解および不安定葉の絶対連続性を分析する。
• ヤコビアンおよびリャプノフ指数の推定値を用いた体積成長推定に基づく背理法を用いて、不安定リャプノフ指数の半剛性を証明する。
• 自然拡張（逆極限空間）を用いて、自己準同型の力学を微分同相写像の力学と関連づけ、エントロピーを保存し、$C^1$近傍での同相性を可能にする。
• ペジンの公式（自己準同型版）を適用し、測度的エントロピーと正のリャプノフ指数の和との関係を確立し、エルゴディシティの議論において不可欠な役割を果たす。
• 線形Anosov自己準同型に$C^1$で近い場合、その上への引き上げは線形写像と同相であるため、リャプノフ指数に対する一様推定値が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非特殊Anosov自己準同型が、各点で有限個の不安定方向しか持たないことはあり得るか？
• RQ2 軌道的Anosov自己準同型における不安定方向の一般的構造は何か？
• RQ3 線形トーラス自己準同型の近傍における$C^1$摂動下で、不安定リャプノフ指数は半剛性を示すか？
• RQ4 保存的$C^{1+\beta}$Anosov自己準同型がエルゴディックであるための条件は何か？
• RQ5 逆極限空間の構成は、非可逆な双曲的力学の解析にどのように寄与するか？

主な発見

• 軌道的Anosov自己準同型では、各点に正確に1つの不安定方向（特殊ケース）を持つか、または残渣的集合の点が非可算無限個の不安定方向を持つ。
• $\mathbb{T}^n$（$n \geq 2$）上の線形Anosov自己準同型の$C^1$近傍において、任意の$C^{1+\alpha}$保存的Anosov自己準同型の不安定リャプノフ指数は、線形写像のそれ以上に上界を持つ。
• 不安定リャプノフ指数は半剛性である：1次元不安定バンドルを持つ線形トーラス自己準同型の近傍では、小さな$C^1$摂動によって指数が増加しない。
• $C^{1+\alpha}$保存的Anosov自己準同型は、Lebesgue測度に関してエルゴディックである。これはSRB測度論および条件付き測度の絶対連続性を用いて証明される。
• 逆極限空間の構成により、近接するAnosov自己準同型とその上への引き上げの間で同相性が保証され、エントロピーが保存され、微分同相写像の技法が適用可能になる。
• 保存的$C^{1+\alpha}$Anosov自己準同型では、Lebesgue測度のエルゴディック分解は自明であり、エルゴディシティが示される。