[論文レビュー] On the use of the Edgeworth expansion in cosmology I: how to foresee and evade its pitfalls

Elena Sellentin, Andrew H. Jaffe+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2017

Statistical and numerical algorithms参考文献 4被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、宇宙論的非ガウス性場に対するエッジワース展開を再導出し、その非自明な振るまい——例えば発散する近似や振動する誤差——が、単純に適用された場合に生じることを特定する。誤差推定に基づいて系列を注意深く切り詰めることで、これらの落とし穴を予測・回避する制御されたフレームワークを提案し、非ガウス性大規模構造データにおけるパrameter推定に、信頼性のあるエッジワース展開の使用を可能にする。

ABSTRACT

Non-linear gravitational collapse introduces non-Gaussian statistics into the matter fields of the late Universe. As the large-scale structure is the target of current and future observational campaigns, one would ideally like to have the full probability density function of these non-Gaussian fields. The only viable way we see to achieve this analytically, at least approximately and in the near future, is via the Edgeworth expansion. We hence rederive this expansion for Fourier modes of non-Gaussian fields and then continue by putting it into a wider statistical context than previously done. We show that in its original form, the Edgeworth expansion only works if the non-Gaussian signal is averaged away. This is counterproductive, since we target the parameter-dependent non-Gaussianities as a signal of interest. We hence alter the analysis at the decisive step and now provide a roadmap towards a controlled and unadulterated analysis of non-Gaussianities in structure formation (with the Edgeworth expansion). Our central result is that, although the Edgeworth expansion has pathological properties, these can be predicted and avoided in a careful manner. We also show that, despite the non-Gaussianity coupling all modes, the Edgeworth series may be applied to any desired subset of modes, since this is equivalent (to the level of the approximation) to marginalising over the exlcuded modes. In this first paper of a series, we restrict ourselves to the sampling properties of the Edgeworth expansion, i.e.~how faithfully it reproduces the distribution of non-Gaussian data. A follow-up paper will detail its Bayesian use, when parameters are to be inferred.

研究の動機と目的

• 非線形重力的崩壊のため、晩期大規模構造における非ガウス性統計をモデル化する一般の解析的フレームワークの欠如に対処すること。
• 標準エッジワース展開が宇宙論的応用で失敗する理由を診断すること、特に物理的に意味のない振動や発散する近似を生じる傾向であること。
• 非ガウス性場解析におけるエッジワース系列の病理的振るまいを予測・回避する体系的な手法を開発すること。
• エッジワース展開を、アドホックでない制御された方法で適用することで、宇宙論におけるパrameter推定の信頼性あるツールとして使用可能にする。

提案手法

• 非ガウス的宇宙論的場のフーリエモードに対するエッジワース展開を再導出し、先行研究の範囲を超えてより広い統計的文脈に位置づける。
• 元のエッジワース展開が、非ガウス性信号が平均化された場合にのみ収束することを特定し、これではパrameter依存の非ガウス性を検出する目的を果たせないことになる。
• 非ガウス性信号を平均化しない分析戦略を導入することで、関心のある信号を保持しつつも解析的制御を維持する。
• エッジワース系列は、任意のフーリエモードの部分集合に適用可能であることを示し、これは除外されたモードを周辺化するのと近似的に同等である。
• 漸近級数理論を用いてエッジワース展開の誤差挙動を分析し、発散的であるが、誤差予測を用いて最適に切り詰め可能であることを示す。
• 誤差挙動をモニタリングすることで、エッジワース系列の最適な切り捨て点を予測する手法を提案し、物理的に意味のない振動や負の尤度を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ標準エッジワース展開は、理論的吸引力があるにもかかわらず、宇宙論的非ガウス性場に適用すると失敗するのか？
• RQ2 エッジワース展開をどのように変更すれば、関心のある非ガウス性信号を平均化せずに保持できるのか？
• RQ3 非ガウス性場解析におけるエッジワース系列の最適な切り捨て点は何かを決定する要因は何か？ そして、それをどのように予測できるか？
• RQ4 除外されたモードを周辺化するのと同等の近似的性を保ちつつ、エッジワース展開をフーリエモードの部分集合に意味的に適用できるか？
• RQ5 エッジワース展開における病理的挙動——例えば振動する誤差や負の尤度——はどのように生じるのか？ そして、それらを体系的に回避できるか？

主な発見

• 元のエッジワース展開は、非ガウス性信号が平均化された場合にのみ収束するため、宇宙論的応用において病理的である。これは、パrameter依存の非ガウス性を検出することを目的としたものにとって、その目的を果たせない。
• エッジワース系列は実用上、漸近的かつ発散的であるが、誤差の挙動を予測・制御することで、注意深く切り詰めることで制御可能である。
• エッジワース展開に高次の項を含めても、精度が向上するとは限らず、むしろ誤差が最初に減少してから増加する傾向があり、偽の二次的ピークや負の尤度といった物理的に意味のない特徴を生じる可能性がある。
• 最適な切り捨て点は、誤差挙動を分析することで予測可能であり、物理的に意味のない近似を回避できる。
• フーリエモードの部分集合にエッジワース展開を適用することは統計的に妥当であり、除外されたモードを周辺化するのと同等であるため、関心のあるスケールに焦点を当てた分析が可能になる。
• 提示された手法により、宇宙論においてエッジワース展開を制御的かつ不純な方法で使用できるようになり、ベイズ的手法によるパrameter推定への応用の道が開かれる。