[論文レビュー] On the use of the Riesz transforms to determine the pressure term in the incompressible Navier-Stokes equations on the whole space

Borys Álvarez-Samaniego, Wilson P. Álvarez-Samaniego+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、d次元ユークリッド空間（d = 2,3）における非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の圧力勾配について、リーマン変換を用いて新しい公式を確立する。重み付きL²およびL^p条件下での速度および外力に対して、∇p = ∇∑ᵢⱼ RᵢRⱼ(uiuj - Fi,j) が成り立つことを示し、基本解との畳み込みではなくリーマン変換を用いた圧力再構成により、従来の結果を簡素化して改善する。

ABSTRACT

We give some conditions under which the pressure term in the incompressible Navier-Stokes equations on the entire $d$-dimensional Euclidean space is determined by the formula $\displaystyle abla p = abla \left(\sum_{i,j=1}^d \mathcal{R}_i \mathcal{R}_j (u_i u_j - F_{i,j}) ight)$, where $d \in \{2, 3\}$, ${ extbf{u}} := (u_1, \ldots, u_d)$ is the fluid velocity, $\mathbb{F}:= (F_{i,j})_{1\le i,j\le d}$ is the forcing tensor, and for all $k \in \{1, \ldots, d\}$, $\mathcal{R}_k$ is the $k$-th Riesz transform.

研究の動機と目的

• 非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のR^d（d=2,3）上での圧力勾配について、複雑な積分表現を避けて、簡素で明示的な公式を提供すること。
• フェルナンド＝ダルゴおよびレマリエ＝リウセの先行研究を拡張・改善し、特に基本解との畳み込みによる圧力の特徴付けを改善すること。
• リーマン変換を用いた直接的な圧力勾配の計算が可能となる条件を確立し、重み付き関数空間における解の解析を容易にすること。
• リーマン変換の使用を圧力再構成に一般化し、Muckenhouptの重みを用いた重み付きL^p空間における有界性を活用すること。
• 重み付きL²空間における解の存在、一意性、正則性の研究を促進するために、圧力項の扱いやすい表現を提供すること。

提案手法

• 発散なし条件とナビエ＝ストークス方程式の構造を用いて、圧力勾配の公式 ∇p = ∇∑ᵢⱼ RᵢRⱼ(uiuj - Fi,j) を導出する。
• リーマン変換 Rₖ = Bₖ / √(-Δ) を、0 < γ < d に対して重み付きL^p空間 L^p_w^γ(R^d) 上の有界作用素として用いる。
• MuckenhouptのA_p重みクラス理論を適用し、L^p_w^γ(R^d) 上でのリーマン変換および最大関数の有界性を証明する。
• ガリャルド＝ニレングラフの補間およびホルダーの不等式を用いて、重み付きL^p空間における非線形項 uiuj を制御する。
• ∇q - ∇p の滑らか化版 Aα,β,t を構成し、それが調和的であり、十分に速く減衰することを証明し、これにより ∇q = ∇p がほとんど everywhere で成立することを示す。
• 解空間 L^σ_w^{σγ}(R^d) + L^2_w^γ(R^d) に非自明な多項式を含まないことを確立し、滑らか化差分が消えることを強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のR^d（d=2,3）上での圧力勾配は、非線形項および外力のリーマン変換によって直接的に表現可能か？
• RQ2 速度および外力に対して重み付きL^pおよびL^2条件を満たすと、圧力勾配のリーマン変換公式が有効に保たれるか？
• RQ3 基本解との畳み込みと比較して、リーマン変換を用いることで圧力項の解析がどのように簡素化されるか？
• RQ4 重みパrameter γ がどのような条件下で、重み付きL^p空間における ∇p のリーマン変換公式が適切に定義され、有界性を満たすか？
• RQ5 リーマン変換による圧力再構成は、重み付きL²空間における解のa priori推定式を導出するために用いることができるか？

主な発見

• d ∈ {2,3} において、提示された条件下で圧力勾配は ∇p = ∇∑ᵢⱼ RᵢRⱼ(uiuj - Fi,j) で与えられる。
• リーマン変換 Rᵢ および Rⱼ は、0 < γ < d および 1 < p < ∞ に対して L^p_w^γ(R^d) 上の有界作用素である。
• 項 ∑ᵢⱼ RᵢRⱼ(uiuj) は、2/a + d/r = d かつ r < d/γ を満たすとき、L^a(0,T; L^r_w^{rγ}(R^d)) に属する。
• 同じ仮定の下で、項 ∑ᵢⱼ RᵢRⱼ(Fi,j) は L^2(0,T; L^2_w^γ(R^d)) に属する。
• 圧力勾配の滑らか化差分 Aα,β,t は恒等的に消えるため、ほとんど everywhere で ∇q = ∇p が成り立つ。
• 空間 L^σ_w^{σγ}(R^d) + L^2_w^γ(R^d) には非自明な多項式を含まないため、調和的で滑らか化された差分はゼロである。