[論文レビュー] On the valuation of arithmetic-average Asian options: the Geman-Yor Laplace transform revisited

Peter Carr, Michael Schröder|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2001

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 12

ひとこと要約

この論文はアジア・オプション・プライシングにおけるGeman-Yorのラプラス変換を再検討し、それが直接的にアジア・オプション・プライスを変換するものであるという誤解を是正する。変換が依然として補助的な非アジア・オプションの族を通じて利用可能であることを示し、複素解析的続行を用いてリスク中立的ドリフトのすべての値に有効性を拡大することで、高ボラティリティ環境における主な金融的適用制限を解消する。

ABSTRACT

The 1993 Laplace transform approach of Geman and Yor is a celebrated advance in valuing Asian options. Its insights are fundamental from both a mathematical and a financial perspective. In this paper, we discuss two observations regarding the financial relevance of its results. First, we show that the Geman and Yor Laplace transform is not that of an Asian option price, as reported in Geman and Yor and other papers. We nonetheless show how the Geman and Yor Laplace transform can be used to obtain the price of an Asian option. Second, we find that following Geman and Yor these Laplace transfoms are available only if the risk-neutral drift is not less than half the squared volatility. Using complex analytic techniques, we lift this restriction, thus extending the financial applicability of the Laplace transform approach.

研究の動機と目的

• Geman-Yorのラプラス変換がアジア・オプション・プライスそのものを直接表すという金融的誤解を解消すること。
• この誤解にもかかわらず、補助的な非アジア・オプションの族を通じて、変換がアジア・オプション・プライシングに依然として有用であることを示すこと。
• リスク中立的ドリフトが分散の半分以上でなければならないという従来の制限を超えて、ラプラス変換の有効性の範囲を拡大すること。
• 特に解析的続行を含む複素解析的手法を適用し、すべてのパrameterの組み合わせ（低ドリフトまたは負のドリフトを含む）に対してラプラス変換の存在を確立すること。

提案手法

• 時間依存の変数依存性のため、Geman-Yor変換がアジア・オプション・プライスそのものではなく、正規化された2変数関数に適用されることを再解釈すること。
• アジア・オプション・プライスの再構成が可能な、補助的な非アジア・オプションの族を構築すること。
• 確率論的議論を用いて、リスク中立的ドリフト ≥ ½σ² の条件下でのラプラス変換を導出することにより、このアプローチの制限を特定すること。
• 複素解析的続行を適用し、元の半平面制限を超えてラプラス変換の定義域を拡張すること。
• 恒等定理および解析的続行の原則を活用し、すべての複素数 z に対して Re(z) > 0 を満たす範囲に変換を拡張することを正当化すること。
• リーマンの逆変換公式を用いた逆ラプラス変換により、拡張された変換から元のオプション・プライスを回復すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ広く信じられているにもかかわらず、Geman-Yorのラプラス変換は実際にはアジア・オプション・プライスそのものの変換ではないのか？
• RQ2 それがオプション価格そのものを直接表さないのにもかかわらず、どうしてGeman-Yorのラプラス変換をアジア・オプション・プライシングに使用できるのか？
• RQ3 元のGeman-Yorアプローチの金融的および数学的制限、特にリスク中立的ドリフトが ½σ² 以上でなければならないという要件とは何か？
• RQ4 低ドリフトまたは負のドリフトを含むすべてのパrameter値に、ラプラス変換アプローチを拡張できるか？金融的適用性を向上させられるか？
• RQ5 ラプラス変換の元の収束領域を超えて、解析的続行を正当化するために使用できる複素解析的手法は何か？

主な発見

• Geman-Yorのラプラス変換はアジア・オプション・プライスそのものではなく、2番目の変数が最初の変数に依存する正規化された2変数関数のものであり、直接的な解釈は不可能である。
• この事実にもかかわらず、補助的な非アジア・オプションの族を構築し、それらを統合することで、アジア・オプション・プライシングに変換を依然として利用可能である。
• 元の確率論的導出は、リスク中立的ドリフトが分散の半分未満でない限り有効でないため、実用的利用に制限がある。
• 複素解析的続行を適用することで、リスク中立的ドリフトが ½σ² 未満のケースを含め、すべてのドリフトに対してラプラス変換の存在を確立した。
• この拡張により、金利、配当利回り、ボラティリティのすべての組み合わせに対してアジア・オプションの評価が可能となり、高ボラティリティ状況における主要な制約が解消された。
• この方法は、アジア・オプション・プライシングが数学的に繊細であり、パラメータ境界に敏感なため、非アジア・オプションを「刃の上で」価格付けしているのと同様に、極めて繊細であることを示している。