[論文レビュー] On the value-distribution of the Riemann zeta-function on the critical line

Justas Kalpokas, Jörn Steuding|ArXiv.org|Jul 10, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 15被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、臨界線 ℂ(1/2 + it) 上におけるリーマン・ゼータ関数の値分布を調査し、リーマン予想のもとではその実部の平均値が正確に 1 に等しいことを証明する。非条件的（リーマン予想なし）に、ゼータ関数が臨界線上で任意に大きな実数値をとることを示しており、原点を通る線への交差の漸近的解析と、これらの点におけるゼータ値のモーメント推定を用いている。

ABSTRACT

We investigate the intersections of the curve $\mathbb{R} i t\mapsto ζ({1\over 2}+it)$ with the real axis. We show that if the Riemann hypothesis is true, the mean-value of those real values exists and is equal to 1. Moreover, we show unconditionally that the zeta-function takes arbitrarily large real values on the critical line.

研究の動機と目的

• ζ(1/2 + it) が臨界線上でとる実数値の分布を分析すること。
• リーマン予想のもとで、実数交点における ζ(1/2 + it) の平均値の存在とその値を確立すること。
• 非条件的に、ζ(1/2 + it) が任意に大きな実数値をとることを示すこと。
• 固定された線 e^{iϕ}ℝ 上にある点における ζ(1/2 + it) の第一および第二離散モーメントの漸近公式を導出すること。
• 原点を通る直線との交差を研究することで、ζ(1/2 + it) が ℂ で稠密であるという予想に裏付けを与えること。

提案手法

• ζ(1/2 + it) が線 e^{iϕ}ℝ 上にある点に対応するゼロを持つ関数 Φ(t; φ) = ζ(1/2 + it) − e^{2iϕ}ζ(1/2 − it) を定義する。
• 関数等式および Δ(s) = 2^s π^{s−1} Γ(1−s) sin(πs/2) の性質を用いて、対称性および正規化の性質を導出する。
• Δ(1/2 + it) = e^{2iϕ} を満たす t ∈ (0,T] の個数 N_ϕ^Δ(T) の漸近公式を確立し、(T/2π) log(T/2πe) + O(log T) のように増加することを示す。
• 複素解析およびモーメント推定を用いて、e^{iϕ}ℝ 上の点における ζ(1/2 + it) の第一および第二離散モーメントの漸近的表現を導出する。
• 離散モーメントにコーシー＝シュワルツの不等式を適用し、ハーディーの Z 関数の第四モーメントの下界を導出する。
• Gram 点と ζ(1/2 + it) の偏角との関係を用いて、結果を既知の Z(t_n) 及びそのモーメントに関する結果と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン予想のもとで、ζ(1/2 + it) の実数値（すなわち ζ(1/2 + it) ∈ ℝ）における平均値は存在するか？ その値は何か？
• RQ2 非条件的に、ある実数 t に対して ζ(1/2 + it) が任意に大きな実数値をとることを証明できるか？
• RQ3 ζ(1/2 + it) が固定された線 e^{iϕ}ℝ 上にある点 t ∈ (0,T] の個数の漸近的挙動は何か？
• RQ4 このような点における ζ(1/2 + it) の第一および第二離散モーメントの漸近公式は何か？
• RQ5 ハーディーの Z 関数のモーメントは、臨界線上における ζ(1/2 + it) の値分布とどのように関係するか？

主な発見

• リーマン予想のもとでは、実数値における ζ(1/2 + it) の平均値は正確に 1 に等しい。
• 非条件的に、ゼータ関数は臨界線上で任意に大きな実数値をとる。
• ζ(1/2 + it) ∈ e^{iϕ}ℝ を満たす t ∈ (0,T] の個数は、漸近的に (T/2π) log(T/2πe) + O(log T) に増加する。
• 実数値における ζ(1/2 + it) の第一離散モーメントは、漸近的に 2e^{iϕ}cosϕ · (T/2π) log(T/2πe) + O(T^{1/2+ε}) に等しい。
• φ = 0 の場合、実数値における ζ(1/2 + it) の第二離散モーメントは、漸近的に (1/2) · (T/2π) log(T/2πe) + O(T^{1/2+ε}) に等しい。
• ハーディーの Z 関数の第四乗和の下界が確立された：∑_{n≤N} Z(t_n)^4 ≥ (1+o(1))N(log N)^2。