[論文レビュー] On the value-distributions of logarithmic derivatives of Dedekind zeta functions

Masahiro Mine|arXiv (Cornell University)|May 22, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、デデキンドゼータ関数の対数微分の値分布を、Euler積から導かれる無限積のフーリエ逆変換によって密度関数を構成することにより、任意の代数的数体上での明示的表現を確立する。主な結果は、$\sigma > 1/2$ に対して有効な、テスト関数の平均に関する精密な漸近公式であり、誤差項は関連する生成関数のフーリエ変換によって制御される。

ABSTRACT

We study the distributions of values of the logarithmic derivatives of the Dedekind zeta functions on a fixed vertical line. The main object is determining and investigating the density functions of such value-distributions for any algebraic number field. We construct the density functions as the Fourier inverse transformations of certain functions represented by infinite products that come from the Euler products of the Dedekind zeta functions.

研究の動機と目的

• リーマンゼータ関数やディリクレL関数の古典的状況を超えて、L関数の対数微分の値分布理論を一般化すること。
• 任意の代数的数体 $K$ に対して、$(\zeta_K'/\zeta_K)(\sigma + it)$ の値分布の密度関数の存在を確立し、明示的な構成を行うこと。
• 伊原・松本の結果を状況(C)から任意の数体へ拡張する際の技術的障害を、対数微分の加法的特徴関数表現におけるGuoのフーリエ解析手法を適応することで克服すること。
• デデキンドゼータ関数や他のL関数に共通する密度関数形式を用いて、$L'$-比の値分布を一様な枠組みで扱うこと。

提案手法

• 密度関数 $M_{\sigma}(z)$ は、デデキンドゼータ関数のEuler積から導かれる無限積として表される関数のフーリエ逆変換として構成される。
• 加法的特徴関数 $\psi_w(z) = \exp(i\langle z,w\rangle)$ を用いてフーリエ変換 $\tilde{M}_\sigma(w)$ を定義し、これは $\zeta_K(s)$ のEuler積の構造をそのまま継承する。
• 鍵となる技術的道具は、テスト関数 $\Phi\big((\zeta_K'/\zeta_K)(\sigma+it)\big)$ の $t \in [0,T]$ における平均を、対数微分係数 $\Lambda_K(p^m)$ から構成された生成関数 $\chi(u,v)$ のフーリエ変換を用いて近似するGuoの手法である。
• 証明は、フーリエ領域をコンパクト集合 $|w| \leq (\log T)^\delta$ とその補集合に分割し、テスト関数 $\Phi$ のフーリエ変換の減衰推定を用いて誤差項 $E$ を評価することに依存する。
• 複素係数 $\Lambda_K(p^m)$ を扱うために、指数関数の実部と虚部に分離し、$t$ に関する三角関数和が得られ、$[0,1]$ 上でその積分を行う。
• この構成は、カスプ形式やディリクレ指標のL関数へと拡張され、$\Lambda_\ast(p^m)$ が実数または有界な複素数ノルムを持つ場合に同様の枠組みが成り立つことが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の代数的数体 $K$ に対して、デデキンドゼータ関数 $\zeta_K(s)$ の対数微分の値分布は、密度関数によって記述可能か？
• RQ2 $\zeta(s)$ に対して有効なGuoの手法は、任意の数体へと拡張可能であり、$t \in [0,T]$ におけるテスト関数の平均に対する一様な漸近公式を導くか？
• RQ3 テスト関数 $\Phi\big((\zeta_K'/\zeta_K)(\sigma+it)\big)$ の平均を密度関数 $M_{\sigma}(z)$ による積分で近似する際の、正確な誤差項は何か？
• RQ4 どのような $\sigma$ とテスト関数 $\Phi$ の条件下で、平均が $M_{\sigma}(z)$ による積分に一様に収束するか？

主な発見

• 本稿では、任意の代数的数体 $K$ に対して、固定された垂直線 $\sigma > 1/2$ 上で $(\zeta_K'/\zeta_K)(\sigma+it)$ の値分布の密度関数 $M_{\sigma}(z)$ を構成した。
• 密度関数は、$\zeta_K(s)$ のEuler積から導かれる無限積として表される関数のフーリエ逆変換として与えられる。
• $\sigma \in [1/2 + (\log T)^{-\theta}, \sigma_1]$ で $\theta, \delta > 0$ かつ $\delta + \theta < 1/2$ を満たす場合、$\Phi\big((\zeta_K'/\zeta_K)(\sigma+it)\big)$ の平均は $\int_{\mathbb{C}} \Phi(z) M_{\sigma}(z) |dz|$ に収束し、誤差 $E \ll \exp\big(-\frac{1}{4}(\log T)^{\frac{2}{3}\theta}\big)$ で制御される。
• 誤差項は、周波数領域におけるコンパクト領域および非コンパクト領域での $\Phi$ のフーリエ変換の $L^1$ ノルムに依存し、一様収束が保証される。
• この手法はデデキンドゼータ関数に限らず、原始的ディリクレ指標やカスプ形式のL関数に対しても適用可能であり、同様の結果が成り立つ。
• カスプ形式およびディリクレL関数の場合、無限積の収束と密度関数構成の正当性を保証するための下界 $\sum_{p \geq M} \sum_{m=1}^\infty \frac{\Lambda_\ast(p^m)^2}{p^{2m\sigma}} \gg \frac{1}{2\sigma - 1} M^{1-2\sigma} \log M$ が成り立つ。