[論文レビュー] On the Value of Multistage Risk-Averse Stochastic Facility Location With or Without Prioritization

Xianjun Yu, Siqian Shen|arXiv (Cornell University)|May 23, 2021

Facility Location and Emergency Management被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、需要と予算の不確実性のもとで、優先順位付けありおよびなしの多段階リスク回避型確率的施設配置モデルを提案する。期待条件付きリスク測度（ECRM）を用いて、多段階解と2段階解の差の下界を厳密に導出する。計算効率を向上させるために近似アルゴリズムと優先順位カットを導入し、不確実性や段階的依存性が高まるほどギャップが拡大するが、下界は依然としてタイトであり、拡大市場下ではアルゴリズムが漸近的に最適であることを示す。

ABSTRACT

We consider a multiperiod stochastic capacitated facility location problem under uncertain demand and budget in each period. Using a scenario tree representation of the uncertainties, we formulate a multistage stochastic integer program to dynamically locate facilities in each period and compare it with a two-stage approach that determines the facility locations up front. In the multistage model, in each stage, a decision maker optimizes facility locations and recourse flows from open facilities to demand sites, to minimize certain risk measures of the cost associated with current facility location and shipment decisions. When the budget is also uncertain, a popular modeling framework is to prioritize the candidate sites. In the two-stage model, the priority list is decided in advance and fixed through all periods, while in the multistage model, the priority list can change adaptively. In each period, the decision maker follows the priority list to open facilities according to the realized budget, and optimizes recourse flows given the realized demand. Using expected conditional risk measures (ECRMs), we derive tight lower bounds for the gaps between the optimal objective values of risk-averse multistage models and their two-stage counterparts in both settings with and without prioritization. Moreover, we propose two approximation algorithms to efficiently solve risk-averse two-stage and multistage models without prioritization, which are asymptotically optimal under an expanding market assumption. We also design a set of super-valid inequalities for risk-averse two-stage and multistage stochastic programs with prioritization to reduce the computational time. We conduct numerical studies using both randomly generated and real-world instances with diverse sizes, to demonstrate the tightness of the analytical bounds and efficacy of the approximation algorithms and prioritization cuts.

研究の動機と目的

• 需要と予算の不確実性のもとで、多期間にわたる容量制約付き施設配置を、多段階確率的整数計画法を用いてモデル化すること。
• 一貫したリスク測度を用いて、リスク回避型コスト最適化の観点から、多段階と2段階フレームワークを比較すること。
• 不確実性下での動的施設配置意思決定と固定の初期意思決定の影響を調査すること。
• リスク回避型2段階および多段階モデルを解くために、計算的に効率的な手法—近似アルゴリズムと優先順位カット—を開発すること。
• 不確実性の構造（例：段階的依存性）が、多段階意思決定の価値にどのように影響するかを分析すること。

提案手法

• 需要と予算における段階的依存性を示すシナリオツリーを用いて、多段階確率的整数計画法を定式化する。
• 期待条件付きリスク測度（ECRM）を用いて、段階を跨ぐリスク回避型意思決定をモデル化し、リスク回避型総コストを最小化する。
• ECRMを用いて、優先順位付けありおよびなしの両状況において、最適な多段階解と2段階解のギャップに対するタイトな解析的下界を導出する。
• 拡大市場仮定の下で、リスク回避型2段階および多段階モデルに対する2つの漸近的に最適な近似アルゴリズムを提案する。
• 固定または適応的優先順位リストを有するモデルにおいて、定式化を強化し、計算時間を短縮するために、超有効不等式（優先順位カット）を導入する。
• 実世界および合成インスタンスを用いた数値実験を通じて、下界の妥当性、アルゴリズムの性能、カットの有効性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 需要と予算の不確実性のもとで、多段階リスク回避型施設配置の価値は2段階解と比べてどの程度高いか。
• RQ2 最適な多段階解と2段階解の理論的ギャップは何か。また、導出された下界はどの程度タイトか。
• RQ3 拡大市場仮定下で、近似アルゴリズムはリスク回避型2段階および多段階モデルを解く際にどの程度の性能を示すか。
• RQ4 固定または適応的優先順位リストを有するリスク回避型モデルにおいて、優先順位カットは計算時間をどの程度短縮するか。
• RQ5 不確実性の構造（例：段階的依存性対独立性）は、施設配置における動的意思決定の価値にどのように影響するか。

主な発見

• 需要や予算の不確実パラメータの変動が大きくなるほど、最適な多段階解と2段階解のギャップが拡大する。
• 段階的依存性を持つシナリオツリーは、段階的独立性を持つものよりも顕著に大きなギャップを生じさせ、動的適応の価値を強調する。
• ECRMを用いて導出した解析的下界はタイトであり、多くのテストケースで真のギャップを回復している。
• 提案された近似アルゴリズムは、実世界ネットワークインスタンスにおいても近似比が1.05にまで低下するなど、強力な実験的性能を示している。
• 優先順位カットは、固定または適応的優先順位リストを有するモデルにおいて、計算時間を顕著に短縮し、最適性ギャップを縮小する。
• 最適な施設立地リストは需要パターンに応じて変化するが、需要の集中が顕著なカリフォルニア州は、需要の高い地域として常に上位6か所にランクインする。