[論文レビュー] On the VC-dimension of convex sets and half-spaces.

Nicolas Grelier, Saeed Ilchi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 10被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、幾何的設定における凸集合および半空間によって定義されるハイパーグラフのVC次元を調査する。平面上の互いに素な凸集合のVC次元はちょうど3であり、一般の凸集合およびR^d (d ≥ 3) における互いに素な凸集合のVC次元は有界でない。平面上の線分についてはVC次元は5以下であり、この上限はタイトである。

ABSTRACT

A family $S$ of convex sets in the plane defines a hypergraph $H = (S,E)$ as follows. Every subfamily $S'\\subset S$ defines a hyperedge of $H$ if and only if there exists a halfspace $h$ that fully contains $S'$, and no other set of $S$ is fully contained in $h$. In this case, we say that $h$ realizes $S'$. We say a set $S$ is shattered, if all its subsets are realized. The VC-dimension of a hypergraph $H$ is the size of the largest shattered set. We show that the VC-dimension for \\emph{pairwise disjoint} convex sets in the plane is bounded by $3$, and this is tight. In contrast, we show the VC-dimension of convex sets in the plane (not necessarily disjoint) is unbounded. We also show that the VC-dimension is unbounded for pairwise disjoint convex sets in $\\mathbb{R}^d$, for $d\\geq 3$. We focus on, possibly intersecting, segments in the plane and determine that the VC-dimension is always at most $5$. And this is tight, as we construct a set of five segments that can be shattered. We give two exemplary applications. One for a geometric set cover problem and one for a range-query data structure problem, to motivate our findings.

研究の動機と目的

• 幾何的配置における凸集合および半空間によって誘導されるハイパーグラフのVC次元を特定すること。
• 幾何的制約（例えば、互いに素であることや次元）が凸集合族のVC次元に与える影響を分析すること。
• 特に平面上の線分に対して、VC次元のタイトな上限を確立すること。
• 幾何的セットカバー問題および範囲クエリデータ構造問題への応用を通じて、これらの理論的上限の実用的関連性を示すこと。

提案手法

• ハイパーエッジが半空間 h によって1つのサブファミリー S' ⊆ S として実現可能であるようなハイパーグラフ H = (S, E) を定義すること。
• 幾何的分離および包含の議論を用いて、凸集合の部分集合がシャッタリングされる条件を特徴付けること。
• R²およびR^dにおける半空間による実現可能性を分析するため、組合せ幾何学および双対性技術を適用すること。
• VC次元の上限が5であることを示すために、5本の線分がシャッタリング可能である具体例を構成すること。
• 高次元における凸集合の再帰的構成を用いて有界でないことを証明すること。
• 凸集合の構造およびそれらの交差の性質を活用して、部分集合のシャッタリング能力を制限すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面上の互いに素な凸集合のVC次元は何か？
• RQ2 一般の（重なりを許す）凸集合が平面上に存在する場合、VC次元はどのように振る舞うか？
• RQ3 R^d (d ≥ 3) における互いに素な凸集合のVC次元は何か？
• RQ4 平面上の線分のVC次元は何か？また、その上限はタイトか？
• RQ5 これらのVC次元の上限は、実用的な幾何的問題にどのように応用できるか？

主な発見

• 平面上の互いに素な凸集合のVC次元は正確に3であり、この上限はタイトである。
• 平面上の一般の凸集合のVC次元は、互いに素である必要がない場合でさえも有界でない。
• R^d (d ≥ 3) における互いに素な凸集合のVC次元も有界でない。
• 平面上の線分についてはVC次元は5以下であり、5本の線分がシャッタリング可能である構成例が提示されたため、この上限はタイトである。
• VC次元に関する理論的上限が、幾何的セットカバー問題および範囲クエリデータ構造問題に応用されており、実用的関連性が示された。
• 本研究の結果は、互いに素であること、次元、オブジェクトの種別（例：線分 vs 一般の凸集合）といった幾何的制約に応じたVC次元の挙動の明確な違いを確立した。