[論文レビュー] On the Vertex-Degree-Function Indices of Connected (n,m)-Graphs of Maximum Degree at Most Four

Abeer M. Albalahi, Igor Milovanović+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2022

Graph theory and applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、最大次数が4以下の連結な$(n,m)$-グラフにおいて、次数分布の制約を用いて頂点次数関数インデックス$ H_f(G) $の鋭い上界と下界を確立する。主な貢献は、$ n $, $ m $, および$ 2m - n $を3で割った余りに応じて、タイトな境界を一元的に導出するフレームワークを構築したことである。等号成立条件は、次数2および3の頂点数を含む次数集合によって完全に特徴付けられている。

ABSTRACT

Consider a graph $G$ and a real-valued function $f$ defined on the degree set of $G$. The sum of the outputs $f(d_v)$ over all vertices $v\in V(G)$ of $G$ is usually known as the vertex-degree-function indices and is denoted by $H_f(G)$, where $d_v$ represents the degree of a vertex $v$ of $G$. This paper gives sharp bounds on the index $H_f(G)$ in terms of order and size of $G$ when $G$ is connected and has the maximum degree at most $4$. All the graphs achieving the derived bounds are also determined. Bounds involving several existing indices - including the general zeroth-order Randić index and coindex, the general multiplicative first/second Zagreb index, the variable sum lodeg index, and the variable sum exdeg index - are deduced as the special cases of the obtained ones.

研究の動機と目的

• 最大次数が4以下の連結な$(n,m)$-グラフにおける頂点次数関数インデックス$ H_f(G) $の鋭い境界を導出すること。
• 境界に達するすべてのグラフを、その次数集合および次数2と3の頂点数に基づいて特徴付けること。
• 一般零番目のランディッチ指数、フォローゾン・コインデックス、可変和指数のエグデグインデックスといった既存のトポロジカルインデックスを、一つの解析的フレームワークに統合・一般化すること。
• 関数$ f $の異なる条件下で、導出された境界を達成する極値構造（次数集合の観点から）を特定すること。

提案手法

• 恒等式$ H_f(G) = \sum_{i=1}^4 n_i f(i) $を用いて、$ H_f(G) $を頂点数$ n_1, n_2, n_3, n_4 $の線形結合として表現する。
• $ \sum_{i=1}^4 n_i = n $および$ \sum_{i=1}^4 i n_i = 2m $の制約を用いて$ n_1 $と$ n_4 $を消去し、$ H_f(G) $を$ n $, $ m $, $ n_2 $, $ n_3 $の関数に簡略化する。
• $ \Gamma_f(G) $を$ n_2 $と$ n_3 $を含む剰余項として定義し、係数$ \xi_1 = f(2) - \frac{2}{3}f(1) - \frac{1}{3}f(4) $および$ \xi_2 = f(3) - \frac{1}{3}f(1) - \frac{2}{3}f(4) $を用いる。
• $ \xi_1 $と$ \xi_2 $の符号および相対的大きさに基づいて$ \Gamma_f(G) $の極値境界を確立する。特に、$ 2\xi_2 < \xi_1 < \xi_2/2 $または$ \xi_2/2 < \xi_1 < 2\xi_2 $の条件下で検討する。
• $ n $と$ m $に関する線形部分と、$ 2m - n \mod 3 $に依存する$ \Gamma_f(G) $の極値を組み合わせることで、$ H_f(G) $の境界を導出する。
• $ TI(G) + \overline{TI}(G) = (n-1)H_f(G) $の恒等式を適用し、$ H_f(G) $の境界をインデックスとそのコインデックスの和の境界に翻訳する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大次数が4以下の連結な$(n,m)$-グラフにおける頂点次数関数インデックス$ H_f(G) $の鋭い上界および下界は何か？
• RQ2 これらの境界に達する極値グラフは、関数$ f $、位数$ n $、サイズ$ m $、および$ 2m - n \mod 3 $の値にどのように依存するか？
• RQ3 既知のトポロジカルインデックス（例：一般零番目のランディッチ指数、フォローゾン・コインデックス、可変和エグデグインデックス）の中で、$ H_f(G) $の特殊な場合であるものは何か？また、それらの境界は一般枠組みからどのように導かれるか？
• RQ4 $ f $のどのような条件下で、極値グラフの次数集合が$ \{1,2,4\} $、$ \{1,3,4\} $、または$ \{1,4\} $となるか？これは$ \xi_1 $と$ \xi_2 $によってどのように特定されるか？
• RQ5 $ TI(G) + \overline{TI}(G) = (n-1)H_f(G) $の恒等式は、インデックスとそのコインデックスの和の境界を導出するためにどのように役立つか？

主な発見

• 鋭い境界は、$ \frac{1}{3}(4f(1) - f(4))n + \frac{2}{3}(f(4) - f(1))m + \Gamma_f(G) $として導出され、ここで$ \Gamma_f(G) $は$ n_2 $と$ n_3 $に依存し、係数$ \xi_1 $と$ \xi_2 $の符号および比に応じて極値が決定される。
• $ 2m - n \equiv 1 \pmod{3} $のとき、$ \Gamma_f(G) $の極値は、$ \xi_1 < 0 $の場合は$ \xi_1 $、$ \xi_1 > 0 $の場合は$ \xi_1 $となり、$ \xi_1 $と$ \xi_2 $の符号条件に依存する。
• $ 2m - n \equiv 2 \pmod{3} $のとき、同じ符号および比の条件下で$ \Gamma_f(G) $の極値は$ \xi_2 $となる。
• $ 2m - n \equiv 0 \pmod{3} $のとき、$ \Gamma_f(G) $の極値は0であり、これは次数が1と4のみのグラフに対応する。
• $ f(x) = x^2 $の場合、フォローゾン・トポロジカル・コインデックス$ \overline{F}(G) $は、$ 2m - n \equiv 1 \pmod{3} $のとき$ \overline{F}(G) \leq 2(m(5n-26) - n(2n-11) + 8) $を満たし、等号成立は次数集合が$ \{1,2,4\} $で、$ G $がちょうど1つの次数2頂点を持つ場合に限る。
• $ f(x) = \ln x^a $の場合、一般乗法的最初のゼグマーブ・インデックスの自然対数は、$ 2m - n \equiv 1 \pmod{3} $のとき$ \Pi_{1,a}(G) \leq 2^{\frac{a(4m - 2n + 1)}{3}} $を満たし、等号成立は次数集合が$ \{1,2,4\} $で、$ G $が1つの次数2頂点を持つ場合に限る。